Google
Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có $AB=a,AD=2a,A{A}'=a$. Gọi M là điểm trên đoạn AD với $\dfrac{AM}{MB}=3$. Gọi x là độ dài khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{D}',{B}'C$ và y là độ dài khoảng cách từ M đến mặt phẳng $\left( A{B}'C \right).$ Tính giá trị xy.
A. $\dfrac{5{{a}^{2}}}{3}$
B. $\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
C. $\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}$
D. $\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}$
A. $\dfrac{5{{a}^{2}}}{3}$
B. $\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
C. $\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}$
D. $\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}$
Ta có: ${B}'C//{A}'D\Rightarrow x=d\left( {B}'C;\left( AD{D}'{A}' \right) \right)$
$=d\left( \left( BC{C}'{B}' \right);\left( AD{D}'{A}' \right) \right)=AB=a$
Mặt khác $\dfrac{AM}{MD}=3\Rightarrow \dfrac{DA}{MA}=\dfrac{4}{3}$
$\Rightarrow d\left( M;\left( {B}'AC \right) \right)=\dfrac{3}{4}d\left( D;\left( {B}'AC \right) \right)$
Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow OB=OD$
$\Rightarrow d\left( D;\left( {B}'AC \right) \right)=d\left( B;\left( {B}'AC \right) \right)$
Dựng $BE\bot AC,BF\bot {B}'E\Rightarrow d\left( B;\left( {B}'AC \right) \right)=BF$
Do $BA\bot BC\bot B{B}'\Rightarrow \dfrac{1}{B{{F}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{{{B}'}}^{2}}}$
$\Rightarrow BF=\dfrac{2a}{3}\Rightarrow d\left( M;\left( {B}'AC \right) \right)=\dfrac{3}{4}.\dfrac{2a}{3}=\dfrac{a}{2}=y\Rightarrow xy=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$.
$=d\left( \left( BC{C}'{B}' \right);\left( AD{D}'{A}' \right) \right)=AB=a$
$\Rightarrow d\left( M;\left( {B}'AC \right) \right)=\dfrac{3}{4}d\left( D;\left( {B}'AC \right) \right)$
Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow OB=OD$
$\Rightarrow d\left( D;\left( {B}'AC \right) \right)=d\left( B;\left( {B}'AC \right) \right)$
Dựng $BE\bot AC,BF\bot {B}'E\Rightarrow d\left( B;\left( {B}'AC \right) \right)=BF$
Do $BA\bot BC\bot B{B}'\Rightarrow \dfrac{1}{B{{F}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{{{B}'}}^{2}}}$
$\Rightarrow BF=\dfrac{2a}{3}\Rightarrow d\left( M;\left( {B}'AC \right) \right)=\dfrac{3}{4}.\dfrac{2a}{3}=\dfrac{a}{2}=y\Rightarrow xy=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$.
Đáp án B.