Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có...

The Knowledge · 16/1/22

Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có

A B = a, A D = 2 a, A A^{'} = a

. Gọi M là điểm trên đoạn AD với

\frac{A M}{M B} = 3

. Gọi x là độ dài khoảng cách giữa hai đường thẳng

A D^{'}, B^{'} C

và y là độ dài khoảng cách từ M đến mặt phẳng

(A B^{'} C) .

Tính giá trị xy.
A.

\frac{5 a^{2}}{3}

B.

\frac{a^{2}}{2}

C.

\frac{3 a^{2}}{4}

D.

\frac{3 a^{2}}{2}

Ta có:

B^{'} C / / A^{'} D \Rightarrow x = d (B^{'} C; (A D D^{'} A^{'}))

= d ((B C C^{'} B^{'}); (A D D^{'} A^{'})) = A B = a

Mặt khác

\frac{A M}{M D} = 3 \Rightarrow \frac{D A}{M A} = \frac{4}{3}

\Rightarrow d (M; (B^{'} A C)) = \frac{3}{4} d (D; (B^{'} A C))

Gọi

O = A C \cap B D \Rightarrow O B = O D

\Rightarrow d (D; (B^{'} A C)) = d (B; (B^{'} A C))

Dựng

B E ⊥ A C, B F ⊥ B^{'} E \Rightarrow d (B; (B^{'} A C)) = B F

Do

B A ⊥ B C ⊥ B B^{'} \Rightarrow \frac{1}{B F^{2}} = \frac{1}{B A^{2}} + \frac{1}{B C^{2}} + \frac{1}{B {B^{'}}^{2}}

\Rightarrow B F = \frac{2 a}{3} \Rightarrow d (M; (B^{'} A C)) = \frac{3}{4} . \frac{2 a}{3} = \frac{a}{2} = y \Rightarrow x y = \frac{a^{2}}{2}

.

Đáp án B.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có...