Google
Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có $AB=3a,AD=4a,A{A}'=4a.$ Gọi G là trọng tâm tam giác $C{C}'D$. Mặt phẳng chứa ${B}'G$ và song song với ${C}'D$ chia khối hộp thành 2 phần. Gọi $\left( H \right)$ là khối đa diện chứa C. Tính tỉ số $\dfrac{{{V}_{\left( II \right)}}}{V}$ với V là thể tích khối hộp đã cho.
A. $\dfrac{19}{54}.$
B. $\dfrac{38}{3}.$
C. $\dfrac{25}{4}.$
D. $\dfrac{25}{2}.$
Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa ${B}'G$ và song song với ${C}'D.$
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của $\left( \alpha \right)$ với CD và $C{C}'.$
Khi đó ta có: $MN//{C}'D$ và $\dfrac{CM}{CD}=\dfrac{CN}{C{C}'}=\dfrac{2}{3}$
Và $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng $\left( AMN{B}' \right),\left( H \right)$ là phần khối đa diện chứa C.
Khi đó ta có: ${{V}_{\left( H \right)}}={{V}_{M.BCN{B}'}}+{{V}_{{B}'.ABM}}$
Ta có: $BCN{B}'$ là hình thang vuông tại B, C có diện tích:
${{S}_{BCN{B}'}}=\dfrac{1}{2}\left( B{B}'+CN \right).BC=\dfrac{1}{2}\left( 4a+\dfrac{2}{3}.4a \right).4a=\dfrac{40{{a}^{2}}}{3}$
$\Rightarrow {{V}_{MBCN{B}'}}=\dfrac{1}{3}MC.{{S}_{BCN{B}'}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3}.3a.\dfrac{40}{3}{{a}^{2}}=\dfrac{80{{a}^{3}}}{9}$
Mặt khác ${{S}_{\Delta ABM}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{\Delta BCM}}-{{S}_{\Delta ADM}}=3a.4a-\dfrac{1}{2}.4a.\dfrac{2}{3}.3a-\dfrac{1}{2}.4a.\dfrac{1}{3}.3a=6{{a}^{2}}$
$\Rightarrow {{V}_{{B}'ABM}}=\dfrac{1}{3}B{B}'.{{S}_{ABM}}=\dfrac{1}{3}.4a.6{{a}^{2}}=8{{a}^{3}}\Rightarrow {{V}_{\left( H \right)}}=\dfrac{80}{9}{{a}^{3}}+8{{a}^{3}}=\dfrac{152}{9}{{a}^{3}}$
Thể tích hình hộp chữ nhật là: $V=3a.4a.4a=48{{a}^{3}}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{\left( H \right)}}}{V}=\dfrac{152{{a}^{3}}}{9}.\dfrac{1}{48{{a}^{3}}}=\dfrac{19}{54}.$
A. $\dfrac{19}{54}.$
B. $\dfrac{38}{3}.$
C. $\dfrac{25}{4}.$
D. $\dfrac{25}{2}.$
Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa ${B}'G$ và song song với ${C}'D.$
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của $\left( \alpha \right)$ với CD và $C{C}'.$
Khi đó ta có: $MN//{C}'D$ và $\dfrac{CM}{CD}=\dfrac{CN}{C{C}'}=\dfrac{2}{3}$
Và $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng $\left( AMN{B}' \right),\left( H \right)$ là phần khối đa diện chứa C.
Khi đó ta có: ${{V}_{\left( H \right)}}={{V}_{M.BCN{B}'}}+{{V}_{{B}'.ABM}}$
Ta có: $BCN{B}'$ là hình thang vuông tại B, C có diện tích:
${{S}_{BCN{B}'}}=\dfrac{1}{2}\left( B{B}'+CN \right).BC=\dfrac{1}{2}\left( 4a+\dfrac{2}{3}.4a \right).4a=\dfrac{40{{a}^{2}}}{3}$
$\Rightarrow {{V}_{MBCN{B}'}}=\dfrac{1}{3}MC.{{S}_{BCN{B}'}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3}.3a.\dfrac{40}{3}{{a}^{2}}=\dfrac{80{{a}^{3}}}{9}$
Mặt khác ${{S}_{\Delta ABM}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{\Delta BCM}}-{{S}_{\Delta ADM}}=3a.4a-\dfrac{1}{2}.4a.\dfrac{2}{3}.3a-\dfrac{1}{2}.4a.\dfrac{1}{3}.3a=6{{a}^{2}}$
$\Rightarrow {{V}_{{B}'ABM}}=\dfrac{1}{3}B{B}'.{{S}_{ABM}}=\dfrac{1}{3}.4a.6{{a}^{2}}=8{{a}^{3}}\Rightarrow {{V}_{\left( H \right)}}=\dfrac{80}{9}{{a}^{3}}+8{{a}^{3}}=\dfrac{152}{9}{{a}^{3}}$
Thể tích hình hộp chữ nhật là: $V=3a.4a.4a=48{{a}^{3}}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{\left( H \right)}}}{V}=\dfrac{152{{a}^{3}}}{9}.\dfrac{1}{48{{a}^{3}}}=\dfrac{19}{54}.$
Đáp án A.