Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có...

Gọi $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng chứa $B^{\prime }G$ và song song với $C^{\prime }D.$
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của $\left(\alpha \right)$ với CD và $C{C}^{\prime }.$
Khi đó ta có: $MN//C^{\prime }D$ và ${\displaystyle \frac{CM}{CD}}={\displaystyle \frac{CN}{C{C}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$
Và $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng $\left(AMN{B}^{\prime }\right),\left(H\right)$ là phần khối đa diện chứa C.
Khi đó ta có: $V_{\left(H\right)}=V_{M.BCN{B}^{\prime }}+V_{B^{\prime }.ABM}$

Ta có: $BCN{B}^{\prime }$ là hình thang vuông tại B, C có diện tích:
$S_{BCN{B}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{2}}(B{B}^{\prime }+CN).BC={\displaystyle \frac{1}{2}}(4a+{\displaystyle \frac{2}{3}}.4a).4a={\displaystyle \frac{40a^2}{3}}$
$\Rightarrow V_{MBCN{B}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{3}}MC.S_{BCN{B}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{2}{3}}.3a.{\displaystyle \frac{40}{3}}{a}^2={\displaystyle \frac{80a^3}{9}}$
Mặt khác $S_{\mathrm{\Delta }ABM}=S_{ABCD}-S_{\mathrm{\Delta }BCM}-S_{\mathrm{\Delta }ADM}=3a.4a-{\displaystyle \frac{1}{2}}.4a.{\displaystyle \frac{2}{3}}.3a-{\displaystyle \frac{1}{2}}.4a.{\displaystyle \frac{1}{3}}.3a=6a^2$
$\Rightarrow V_{B^{\prime }ABM}={\displaystyle \frac{1}{3}}B{B}^{\prime }.S_{ABM}={\displaystyle \frac{1}{3}}.4a.6a^2=8a^3\Rightarrow V_{\left(H\right)}={\displaystyle \frac{80}{9}}{a}^3+8a^3={\displaystyle \frac{152}{9}}{a}^3$
Thể tích hình hộp chữ nhật là: $V=3a.4a.4a=48a^3\Rightarrow {\displaystyle \frac{V_{\left(H\right)}}{V}}={\displaystyle \frac{152a^3}{9}}.{\displaystyle \frac{1}{48a^3}}={\displaystyle \frac{19}{54}}.$