Google
Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Hai điểm M và N lần lượt thay đổi trên các cạnh BC, ${C}'{D}'.$ Đặt $CM=x,{C}'N=y,$ để góc giữa hai mặt phẳng $\left( AM{A}' \right)$ và $\left( AN{A}' \right)$ bằng $45{}^\circ $ khi đó biểu thức liên hệ giữa x và y là:
A. ${{a}^{2}}-xy=a\left( x+y \right).$
B. ${{a}^{2}}+xy=a\left( x+y \right).$
C. $2{{a}^{2}}-xy=2a\left( x+y \right).$
D. $2{{a}^{2}}+xy=2a\left( x+y \right).$
A. ${{a}^{2}}-xy=a\left( x+y \right).$
B. ${{a}^{2}}+xy=a\left( x+y \right).$
C. $2{{a}^{2}}-xy=2a\left( x+y \right).$
D. $2{{a}^{2}}+xy=2a\left( x+y \right).$
HD: Dựng $A{N}'//{A}'N\left( {N}'\in CD \right)\Rightarrow {C}'N=C{N}'=x$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& A{A}'\bot AM \\
& A{A}'\bot A{N}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \widehat{\left( AM{A}' \right);\left( ANN{A}' \right)}=\widehat{MA{N}'}$
Suy ra $\widehat{MA{N}'}=45{}^\circ \Rightarrow \widehat{BAM}+\widehat{{N}'AD}=45{}^\circ .$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& \widehat{BAM}=\alpha \\
& \widehat{{N}'AD}=\beta \\
\end{aligned} \right. $ ta có: $ \left\{ \begin{aligned}
& \tan \alpha =\dfrac{BM}{AB}=\dfrac{a-x}{a} \\
& \tan \beta =\dfrac{D{N}'}{AD}=\dfrac{a-y}{a} \\
& \alpha +\beta =45{}^\circ \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $\tan \left( \alpha +\beta \right)=\dfrac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }=\tan 45{}^\circ $
$\Rightarrow \dfrac{\dfrac{a-x}{a}+\dfrac{a-y}{a}}{1-\dfrac{\left( a-x \right)\left( a-y \right)}{{{a}^{2}}}}=1\Leftrightarrow \dfrac{2{{a}^{2}}-a\left( x+y \right)}{{{a}^{2}}-\left[ {{a}^{2}}-a\left( x+y \right)+xy \right]}=1\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}-a\left( x+y \right)=a\left( x+y \right)-xy$
$\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+xy=2a\left( x+y \right).$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& A{A}'\bot AM \\
& A{A}'\bot A{N}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \widehat{\left( AM{A}' \right);\left( ANN{A}' \right)}=\widehat{MA{N}'}$
Suy ra $\widehat{MA{N}'}=45{}^\circ \Rightarrow \widehat{BAM}+\widehat{{N}'AD}=45{}^\circ .$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& \widehat{BAM}=\alpha \\
& \widehat{{N}'AD}=\beta \\
\end{aligned} \right. $ ta có: $ \left\{ \begin{aligned}
& \tan \alpha =\dfrac{BM}{AB}=\dfrac{a-x}{a} \\
& \tan \beta =\dfrac{D{N}'}{AD}=\dfrac{a-y}{a} \\
& \alpha +\beta =45{}^\circ \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $\tan \left( \alpha +\beta \right)=\dfrac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }=\tan 45{}^\circ $
$\Rightarrow \dfrac{\dfrac{a-x}{a}+\dfrac{a-y}{a}}{1-\dfrac{\left( a-x \right)\left( a-y \right)}{{{a}^{2}}}}=1\Leftrightarrow \dfrac{2{{a}^{2}}-a\left( x+y \right)}{{{a}^{2}}-\left[ {{a}^{2}}-a\left( x+y \right)+xy \right]}=1\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}-a\left( x+y \right)=a\left( x+y \right)-xy$
$\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+xy=2a\left( x+y \right).$
Đáp án D.