Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có đáy ABCD là hình...

The Knowledge · 18/2/22

Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Hai điểm M và N lần lượt thay đổi trên các cạnh BC,

C^{'} D^{'} .

Đặt

C M = x, C^{'} N = y,

để góc giữa hai mặt phẳng

(A M A^{'})

và

(A N A^{'})

bằng

45^{\circ}

khi đó biểu thức liên hệ giữa x và y là:
A.

a^{2} - x y = a (x + y) .

B.

a^{2} + x y = a (x + y) .

C.

2 a^{2} - x y = 2 a (x + y) .

D.

2 a^{2} + x y = 2 a (x + y) .

HD: Dựng

A N^{'} / / A^{'} N (N^{'} \in C D) \Rightarrow C^{'} N = C N^{'} = x

Ta có:

{\begin{aligned} A A^{'} ⊥ A M \\ A A^{'} ⊥ A N^{'} \end{aligned} \Rightarrow \hat{(A M A^{'}); (A N N A^{'})} = \hat{M A N^{'}}

Suy ra

\hat{M A N^{'}} = 45^{\circ} \Rightarrow \hat{B A M} + \hat{N^{'} A D} = 45^{\circ} .

Đặt

{\begin{aligned} \hat{B A M} = α \\ \hat{N^{'} A D} = β \end{aligned}

ta có:

{\begin{aligned} \tan α = \frac{B M}{A B} = \frac{a - x}{a} \\ \tan β = \frac{D N^{'}}{A D} = \frac{a - y}{a} \\ α + β = 45^{\circ} \end{aligned}

Ta có:

\tan (α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β} = \tan 45^{\circ}

\Rightarrow \frac{\frac{a - x}{a} + \frac{a - y}{a}}{1 - \frac{(a - x) (a - y)}{a^{2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{2 a^{2} - a (x + y)}{a^{2} - [a^{2} - a (x + y) + x y]} = 1 \Leftrightarrow 2 a^{2} - a (x + y) = a (x + y) - x y

\Leftrightarrow 2 a^{2} + x y = 2 a (x + y) .

Đáp án D.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình...