Google
Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$, góc giữa $\left( A{C}'{D}' \right)$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng ${{30}^{\text{o}}}$. Khoảng cách giữa $A{D}'$ và ${A}'B$ bằng
A. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
D. $\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$.
Vì $\left( ABCD \right)//\left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right)$ nên góc giữa $\left( A{C}'{D}' \right)$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng góc giữa $\left( A{C}'{D}' \right)$ và mặt phẳng $\left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right)$.
Ta có $\left. \begin{matrix}
\left( A{C}'{D}' \right)\cap \left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right)={C}'{D}' \\
A{D}'\bot {C}'{D}' \\
{A}'{D}'\bot {C}'{D}' \\
\end{matrix} \right\} $ $ \Rightarrow \left( \left( A{C}'{D}' \right);\left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right) \right)=\left( A{D}'; {A}'{D}' \right) $ $ =\widehat{A{D}'{A}'}={{30}^{0}}$.
Trong tam giác vuông $A{A}'{D}'$ có $A{A}'={A}'{D}'.\tan {{30}^{0}}=\dfrac{2\sqrt{3}a}{3}$.
Vì ${A}'B//C{D}'$ nên ${A}'B//\left( AC{D}' \right)$, suy ra $d\left( {A}'B; A{D}' \right)=d\left( {A}'B; \left( AC{D}' \right) \right)=d\left( {A}'; \left( AC{D}' \right) \right)$
Mà ${A}'B\cap \left( AC{D}' \right)=I$ là trung điểm của ${A}'D$ nên $d\left( {A}'; \left( AC{D}' \right) \right)=d\left( D; \left( AC{D}' \right) \right)$.
Tại $D$, có ba tia $DA, DC, D{D}'$ đôi một vuông góc nên
$\dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( D; \left( AC{D}' \right) \right)}=\dfrac{1}{D{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{{{D}'}}^{2}}}$ $=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}+\dfrac{3}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}}$
Suy ra $d\left( D; \left( AC{D}' \right) \right)=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$ hay $d\left( {A}'B; A{D}' \right)=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
A. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
D. $\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$.
Ta có $\left. \begin{matrix}
\left( A{C}'{D}' \right)\cap \left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right)={C}'{D}' \\
A{D}'\bot {C}'{D}' \\
{A}'{D}'\bot {C}'{D}' \\
\end{matrix} \right\} $ $ \Rightarrow \left( \left( A{C}'{D}' \right);\left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right) \right)=\left( A{D}'; {A}'{D}' \right) $ $ =\widehat{A{D}'{A}'}={{30}^{0}}$.
Trong tam giác vuông $A{A}'{D}'$ có $A{A}'={A}'{D}'.\tan {{30}^{0}}=\dfrac{2\sqrt{3}a}{3}$.
Vì ${A}'B//C{D}'$ nên ${A}'B//\left( AC{D}' \right)$, suy ra $d\left( {A}'B; A{D}' \right)=d\left( {A}'B; \left( AC{D}' \right) \right)=d\left( {A}'; \left( AC{D}' \right) \right)$
Mà ${A}'B\cap \left( AC{D}' \right)=I$ là trung điểm của ${A}'D$ nên $d\left( {A}'; \left( AC{D}' \right) \right)=d\left( D; \left( AC{D}' \right) \right)$.
Tại $D$, có ba tia $DA, DC, D{D}'$ đôi một vuông góc nên
$\dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( D; \left( AC{D}' \right) \right)}=\dfrac{1}{D{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{{{D}'}}^{2}}}$ $=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}+\dfrac{3}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}}$
Suy ra $d\left( D; \left( AC{D}' \right) \right)=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$ hay $d\left( {A}'B; A{D}' \right)=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
Đáp án A.