Google
Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'C'{D}'$ có $AB<BC,BC=3cm.$ Hai mặt phẳng $\left( AC{C}'{A}' \right)$ và $\left( BD{D}'{B}' \right)$ hợp với nhau góc $\alpha \left( 0<\alpha \le \dfrac{\pi }{2} \right).$ Đường chéo ${B}'D$ hợp với mặt phẳng $\left( CD{D}'{C}' \right)$ một góc β $\left( 0<\beta <\dfrac{\pi }{2} \right).$ Hai góc $\alpha ,\beta $ thay đổi nhưng thỏa mãn hình hộp $AD{D}'{A}'.BC{C}'{B}'$ luôn là hình lăng trụ đều. Giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là
A. $\sqrt{3}c{{m}^{3}}.$
B. $2\sqrt{3}c{{m}^{3}}.$
C. $6\sqrt{3}c{{m}^{3}}.$
D. $12\sqrt{3}c{{m}^{3}}.$
Ta có: $\left( \widehat{\left( AC{C}'{A}' \right),\left( BD{D}'{B}' \right)} \right)=\widehat{COD}=\alpha $
$\Rightarrow \widehat{CBD}=\dfrac{\alpha }{2}\Rightarrow BC=BD.\cos \widehat{CBD}=3\cos \dfrac{\alpha }{2},$ $CD=BD.\sin \widehat{CBD}=3\sin \dfrac{\alpha }{2}$
Ta có: $\left( \widehat{{B}'D,\left( CD{D}'{C}' \right)} \right)=\widehat{{B}'D{C}'}=\beta .$
Do $AD{D}'{A}'.BC{C}'{B}'$ luôn là hình lăng trụ đều nên $BC=C{C}'$
${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=BC.CD.C{C}'=27\sin \dfrac{\alpha }{2}{{\cos }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}$
${{\sin }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}{{\cos }^{4}}\dfrac{\alpha }{2}=\dfrac{1}{2}.2{{\sin }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}.co{{s}^{2}}\dfrac{\alpha }{2}\le \dfrac{1}{2}{{\left( \dfrac{2{{\sin }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}+{{\cos }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}+{{\cos }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}}{3} \right)}^{2}}=\dfrac{4}{27}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $2{{\sin }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}={{\cos }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}\Rightarrow {{\tan }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \alpha =\arctan \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow {{\sin }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}{{\cos }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}\le \dfrac{2\sqrt{3}}{9}\Rightarrow V\le 6\sqrt{3}.$
A. $\sqrt{3}c{{m}^{3}}.$
B. $2\sqrt{3}c{{m}^{3}}.$
C. $6\sqrt{3}c{{m}^{3}}.$
D. $12\sqrt{3}c{{m}^{3}}.$
Ta có: $\left( \widehat{\left( AC{C}'{A}' \right),\left( BD{D}'{B}' \right)} \right)=\widehat{COD}=\alpha $
$\Rightarrow \widehat{CBD}=\dfrac{\alpha }{2}\Rightarrow BC=BD.\cos \widehat{CBD}=3\cos \dfrac{\alpha }{2},$ $CD=BD.\sin \widehat{CBD}=3\sin \dfrac{\alpha }{2}$
Ta có: $\left( \widehat{{B}'D,\left( CD{D}'{C}' \right)} \right)=\widehat{{B}'D{C}'}=\beta .$
Do $AD{D}'{A}'.BC{C}'{B}'$ luôn là hình lăng trụ đều nên $BC=C{C}'$
${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=BC.CD.C{C}'=27\sin \dfrac{\alpha }{2}{{\cos }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}$
${{\sin }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}{{\cos }^{4}}\dfrac{\alpha }{2}=\dfrac{1}{2}.2{{\sin }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}.co{{s}^{2}}\dfrac{\alpha }{2}\le \dfrac{1}{2}{{\left( \dfrac{2{{\sin }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}+{{\cos }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}+{{\cos }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}}{3} \right)}^{2}}=\dfrac{4}{27}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $2{{\sin }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}={{\cos }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}\Rightarrow {{\tan }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \alpha =\arctan \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow {{\sin }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}{{\cos }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}\le \dfrac{2\sqrt{3}}{9}\Rightarrow V\le 6\sqrt{3}.$
Đáp án C.