Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A B < B C, B C = 3 c m .$ Hai...

The Professor · 14/12/21

Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có

A B < B C, B C = 3 c m .

Hai mặt phẳng

(A C C^{'} A^{'})

và

(B D D^{'} B^{'})

hợp với nhau góc

α (0 < α \leq \frac{π}{2}) .

Đường chéo

B^{'} D

hợp với mặt phẳng

(C D D^{'} C^{'})

một góc β $(0 < β < \frac{π}{2}) .$ Hai góc

α, β

thay đổi nhưng thỏa mãn hình hộp

A D D^{'} A^{'} . B C C^{'} B^{'}

luôn là hình lăng trụ đều. Giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

là
A.

\sqrt{3} c m^{3} .

B.

2 \sqrt{3} c m^{3} .

C.

6 \sqrt{3} c m^{3} .

D.

12 \sqrt{3} c m^{3} .

Ta có:

(\hat{(A C C^{'} A^{'}), (B D D^{'} B^{'})}) = \hat{C O D} = α

\Rightarrow \hat{C B D} = \frac{α}{2} \Rightarrow B C = B D . \cos \hat{C B D} = 3 \cos \frac{α}{2},

C D = B D . \sin \hat{C B D} = 3 \sin \frac{α}{2}

Ta có:

(\hat{B^{'} D, (C D D^{'} C^{'})}) = \hat{B^{'} D C^{'}} = β .

Do

A D D^{'} A^{'} . B C C^{'} B^{'}

luôn là hình lăng trụ đều nên

B C = C C^{'}

V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = B C . C D . C C^{'} = 27 \sin \frac{α}{2} \cos^{2} \frac{α}{2}

\sin^{2} \frac{α}{2} \cos^{4} \frac{α}{2} = \frac{1}{2} .2 \sin^{2} \frac{α}{2} . c o s^{2} \frac{α}{2} \leq \frac{1}{2} {(\frac{2 \sin^{2} \frac{α}{2} + \cos^{2} \frac{α}{2} + \cos^{2} \frac{α}{2}}{3})}^{2} = \frac{4}{27}

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

2 \sin^{2} \frac{α}{2} = \cos^{2} \frac{α}{2} \Rightarrow \tan^{2} \frac{α}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow α = \arctan \frac{\sqrt{2}}{2}

\Rightarrow \sin^{2} \frac{α}{2} \cos^{2} \frac{α}{2} \leq \frac{2 \sqrt{3}}{9} \Rightarrow V \leq 6 \sqrt{3} .

Đáp án C.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB<BC,BC=3cm. Hai...