Google
Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có $AB=A{A}'=a$, $AD=2a$. Gọi $\alpha $ là góc giữa đường chéo ${A}'C$ và đáy $ABCD$. Tính $\alpha $.
A. $\alpha \approx 20{}^\circ 4{5}'$
B. $\alpha \approx 24{}^\circ {5}'$
C. $\alpha \approx 30{}^\circ 1{8}'$
D. $\alpha \approx 25{}^\circ 4{8}'$
Từ giả thiết ta suy ra: $A{A}'\bot \left( ABCD \right)$ $\Rightarrow AC$ là hình chiếu vuông góc của ${A}'C$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ $\Rightarrow \left( {A}'C,\left( ABCD \right) \right)=\left( {A}'C,AC \right)=\widehat{{A}'CA}=\alpha $.
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác $ABC$ vuông tại $B$ ta có:
$A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}={{a}^{2}}+4{{a}^{2}}=5{{a}^{2}}$ $\Rightarrow AC=a\sqrt{5}$.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác $A{A}'C$ vuông tại $A$ ta có:
$\tan \alpha =\dfrac{A{A}'}{AC}=\dfrac{a}{a\sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ $\Rightarrow \alpha \approx 24{}^\circ {5}'$.
A. $\alpha \approx 20{}^\circ 4{5}'$
B. $\alpha \approx 24{}^\circ {5}'$
C. $\alpha \approx 30{}^\circ 1{8}'$
D. $\alpha \approx 25{}^\circ 4{8}'$
Từ giả thiết ta suy ra: $A{A}'\bot \left( ABCD \right)$ $\Rightarrow AC$ là hình chiếu vuông góc của ${A}'C$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ $\Rightarrow \left( {A}'C,\left( ABCD \right) \right)=\left( {A}'C,AC \right)=\widehat{{A}'CA}=\alpha $.
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác $ABC$ vuông tại $B$ ta có:
$A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}={{a}^{2}}+4{{a}^{2}}=5{{a}^{2}}$ $\Rightarrow AC=a\sqrt{5}$.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác $A{A}'C$ vuông tại $A$ ta có:
$\tan \alpha =\dfrac{A{A}'}{AC}=\dfrac{a}{a\sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ $\Rightarrow \alpha \approx 24{}^\circ {5}'$.
Đáp án B.