Google
Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có $AB=2a$, $AD=a$, $A{A}'=a\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$. Tính khoảng cách $h$ từ điểm $D$ đến mặt phẳng $\left( {B}'MC \right)$
A. $h=\dfrac{3a\sqrt{21}}{7}$.
B. $h=\dfrac{a}{\sqrt{21}}$.
C. $h=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
D. $h=\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $MC$ $\Rightarrow BI\bot MC$
Kẻ $BH\bot {B}'I$ $\Rightarrow BH\bot \left( {B}'MC \right)$ $\Rightarrow d\left( B,\left( {B}'MC \right) \right)=BH$
Ta có tam giác $BMC$ vuông cân tại $B$ nên $BI=\dfrac{MC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$BH=\dfrac{B{B}'.BI}{\sqrt{B{{{{B}'}}^{2}}+B{{I}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$ $\Rightarrow d\left( B,\left( M{B}'C \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
Mặt khác gọi $E$ là giao điểm của $BD$ và $MC$
$\Rightarrow \dfrac{d\left( D,\left( M{B}'C \right) \right)}{d\left( B,\left( M{B}'C \right) \right)}=\dfrac{ED}{EB}=\dfrac{DC}{MB}=2$
$\Rightarrow d\left( D,\left( M{B}'C \right) \right)=2d\left( B,\left( M{B}'C \right) \right)$ $=\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$.
A. $h=\dfrac{3a\sqrt{21}}{7}$.
B. $h=\dfrac{a}{\sqrt{21}}$.
C. $h=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
D. $h=\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $MC$ $\Rightarrow BI\bot MC$
Kẻ $BH\bot {B}'I$ $\Rightarrow BH\bot \left( {B}'MC \right)$ $\Rightarrow d\left( B,\left( {B}'MC \right) \right)=BH$
Ta có tam giác $BMC$ vuông cân tại $B$ nên $BI=\dfrac{MC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$BH=\dfrac{B{B}'.BI}{\sqrt{B{{{{B}'}}^{2}}+B{{I}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$ $\Rightarrow d\left( B,\left( M{B}'C \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
Mặt khác gọi $E$ là giao điểm của $BD$ và $MC$
$\Rightarrow \dfrac{d\left( D,\left( M{B}'C \right) \right)}{d\left( B,\left( M{B}'C \right) \right)}=\dfrac{ED}{EB}=\dfrac{DC}{MB}=2$
$\Rightarrow d\left( D,\left( M{B}'C \right) \right)=2d\left( B,\left( M{B}'C \right) \right)$ $=\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$.
Đáp án D.