Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có $AB=2a,\ AD=3a,\...

Gọi E, ${E}'$ lần lượt là tâm của hình chữ nhật $AD{D}'{A}',\ {A}'{B}'{C}'{D}'$. Khi đó: $E{E}'=\left( D{A}'{C}' \right)\cap \left( A{B}'{D}' \right)$. Dựng ${A}'H,{D}'F$ lần lượt là đường cao của hai tam giác $D{A}'{C}',A{B}'{D}'$. Dễ thấy: ${A}'H,{D}'F,E{F}'$ đồng quy tại K và $\left\{ \begin{aligned}
& {A}'K\bot E{E}' \\
& {D}'K\bot E{E}' \\
\end{aligned} \right.$
Hình chữ nhật $D{D}'{C}'C$ có: $D{C}'=\sqrt{D{{{{D}'}}^{2}}+{D}'{{{{C}'}}^{2}}}=2\sqrt{5}a.$
Hình chữ nhật $AD{D}'{A}'$ có: ${A}'D=\sqrt{A{{D}^{2}}+A{{{{A}'}}^{2}}}=5a$
Hình chữ nhật ${A}'{B}'{C}'{D}'$ có: ${A}'{C}'=\sqrt{{A}'{{{{B}'}}^{2}}+{B}'{{{{C}'}}^{2}}}=\sqrt{13}a.$
Suy ra: ${{S}_{\Delta D{A}'{C}'}}\sqrt{61}{{a}^{2}}\Rightarrow {A}'H=\dfrac{2{{S}_{\Delta D{A}'{C}'}}}{D{C}'}=\dfrac{\sqrt{305}}{5}a\Rightarrow {A}'K=\dfrac{\sqrt{305}}{10}a.$
Hoàn toàn tương tự ta có: ${D}'K=\dfrac{\sqrt{305}}{10}a.$
Trong tam giác ${A}'{D}'K$ có: $\cos x=\dfrac{{A}'{{K}^{2}}+{D}'{{K}^{2}}-{A}'{{{{D}'}}^{2}}}{2.{A}'K.{D}'K}=-\dfrac{29}{61}$
$\Rightarrow \cos \alpha =\left| \cos x \right|=\dfrac{29}{61}$.