Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D' có thể tích V, gọi M, N là hai điểm...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D' có thể tích V, gọi M, N là hai điểm thỏa mãn

\vec{D^{'} M} = 2 \vec{M D}, \vec{C^{'} N} = 2 \vec{N C},

đường thẳng AM cắt đường A'D' tại P, đường thẳng BN cắt đường thẳng B'C' tại Q. Thể tích của khối PQNMD'C' bằng
A.

\frac{2}{3} V .

B.

\frac{1}{3} V .

C.

\frac{1}{2} V .

D.

\frac{3}{4} V .

\vec{D^{'} M} = 2 \vec{M D} \Rightarrow M

nằm trên đoạn D'D và

D^{'} M = \frac{2}{3} D^{'} D .

\vec{C^{'} N} = 2 \vec{N C} \Rightarrow N

nằm trên đoạn C'C và

C^{'} N = \frac{2}{3} C^{'} C .

Trong (BB'C'C) qua N kẻ HK vuông với

B C, B^{'} C^{'} (H \in B C, K \in B^{'} C^{'}) .

B C / / B^{'} C^{'} \Rightarrow \frac{N K}{N H} = \frac{N C^{'}}{N C} = 2 \Rightarrow N K = 2 N H, N H = \frac{1}{3} H K .

\begin{aligned} B C / / B^{'} C^{'} \Rightarrow \frac{Q C^{'}}{B C} = \frac{C^{'} N}{C N} = 2 \Rightarrow Q C^{'} = 2 B C . \\ S_{Q C^{'} N} = \frac{1}{2} N K . Q C^{'} = \frac{1}{2} .2 N H .2 B C = 4. \frac{1}{2} . \frac{1}{3} H K . B C = \frac{2}{3} S_{B B^{'} C^{'} C} . \\ \frac{V_{P Q N M D^{'} C^{'}}}{V} = \frac{V_{N Q C^{'} . M P D^{'}}}{V} = \frac{S_{N Q C^{'}}}{S_{B C C^{'} B^{'}}} = \frac{2}{3} \Rightarrow V_{P Q N M D^{'} C^{'}} = \frac{2}{3} V . \end{aligned}

Đáp án A.