Google
Câu hỏi: Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D' có thể tích V, gọi M, N là hai điểm thỏa mãn $\overrightarrow{{D}'M}=2\overrightarrow{MD},\overrightarrow{{C}'N}=2\overrightarrow{NC},$ đường thẳng AM cắt đường A'D' tại P, đường thẳng BN cắt đường thẳng B'C' tại Q. Thể tích của khối PQNMD'C' bằng
A. $\dfrac{2}{3}V.$
B. $\dfrac{1}{3}V.$
C. $\dfrac{1}{2}V.$
D. $\dfrac{3}{4}V.$
$\overrightarrow{{D}'M}=2\overrightarrow{MD}\Rightarrow M$ nằm trên đoạn D'D và ${D}'M=\dfrac{2}{3}{D}'D.$
$\overrightarrow{{C}'N}=2\overrightarrow{NC}\Rightarrow N$ nằm trên đoạn C'C và ${C}'N=\dfrac{2}{3}{C}'C.$
Trong (BB'C'C) qua N kẻ HK vuông với $BC,{B}'{C}'\left( H\in BC,K\in {B}'{C}' \right).$
$BC//{B}'{C}'\Rightarrow \dfrac{NK}{NH}=\dfrac{N{C}'}{NC}=2\Rightarrow NK=2NH,NH=\dfrac{1}{3}HK.$
$\begin{aligned}
& BC//{B}'{C}'\Rightarrow \dfrac{Q{C}'}{BC}=\dfrac{{C}'N}{CN}=2\Rightarrow Q{C}'=2BC. \\
& {{S}_{Q{C}'N}}=\dfrac{1}{2}NK.Q{C}'=\dfrac{1}{2}.2NH.2BC=4.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}HK.BC=\dfrac{2}{3}{{S}_{B{B}'{C}'C}}. \\
& \dfrac{{{V}_{PQNM{D}'{C}'}}}{V}=\dfrac{{{V}_{NQ{C}'.MP{D}'}}}{V}=\dfrac{{{S}_{NQ{C}'}}}{{{S}_{BC{C}'{B}'}}}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow {{V}_{PQNM{D}'{C}'}}=\dfrac{2}{3}V. \\
\end{aligned}$
A. $\dfrac{2}{3}V.$
B. $\dfrac{1}{3}V.$
C. $\dfrac{1}{2}V.$
D. $\dfrac{3}{4}V.$
$\overrightarrow{{D}'M}=2\overrightarrow{MD}\Rightarrow M$ nằm trên đoạn D'D và ${D}'M=\dfrac{2}{3}{D}'D.$
$\overrightarrow{{C}'N}=2\overrightarrow{NC}\Rightarrow N$ nằm trên đoạn C'C và ${C}'N=\dfrac{2}{3}{C}'C.$
Trong (BB'C'C) qua N kẻ HK vuông với $BC,{B}'{C}'\left( H\in BC,K\in {B}'{C}' \right).$
$BC//{B}'{C}'\Rightarrow \dfrac{NK}{NH}=\dfrac{N{C}'}{NC}=2\Rightarrow NK=2NH,NH=\dfrac{1}{3}HK.$
$\begin{aligned}
& BC//{B}'{C}'\Rightarrow \dfrac{Q{C}'}{BC}=\dfrac{{C}'N}{CN}=2\Rightarrow Q{C}'=2BC. \\
& {{S}_{Q{C}'N}}=\dfrac{1}{2}NK.Q{C}'=\dfrac{1}{2}.2NH.2BC=4.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}HK.BC=\dfrac{2}{3}{{S}_{B{B}'{C}'C}}. \\
& \dfrac{{{V}_{PQNM{D}'{C}'}}}{V}=\dfrac{{{V}_{NQ{C}'.MP{D}'}}}{V}=\dfrac{{{S}_{NQ{C}'}}}{{{S}_{BC{C}'{B}'}}}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow {{V}_{PQNM{D}'{C}'}}=\dfrac{2}{3}V. \\
\end{aligned}$
Đáp án A.