Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tất cả các cạnh bằng 1 và $\angle BAD=\angle DAA'=\angle A'AB={{60}^{0}}.$ Cho hai điểm $M,N$ thỏa mãn điều kiện...

Phương pháp:
- Phân tích $\overrightarrow{MN}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AA'}.$
- Sử dụng công thức $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{v} \right|.\cos \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} \right).$
Cách giải:

Ta có:
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC'}+\overrightarrow{C'D'}+\overrightarrow{D'N}$
$=2\overrightarrow{BC'}+\overrightarrow{C'D'}+\overrightarrow{DD'}$
$=2\left( \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC'} \right)+\overrightarrow{C'D'}+\overrightarrow{CC'}$
$=2\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{C'D'}+\overrightarrow{CC'}$
$=2\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{AA'}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA'}$
$=2\overrightarrow{AD}+3\overrightarrow{AA'}-\overrightarrow{AB}$
$\Rightarrow M{{N}^{2}}={{\left( 2\overrightarrow{AD}+3\overrightarrow{AA'}-\overrightarrow{AB} \right)}^{2}}$
$=4A{{D}^{2}}+9AA{{'}^{2}}+A{{B}^{2}}+12\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AA'}-4\overrightarrow{AD.}\overrightarrow{AB}-6\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{AB}$
$=12+12\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AA'}-4\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}-6\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{AB}$
Ta có:
$\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AA'}=AD.AA'.\cos \angle DAA'=1.1.\cos {{60}^{0}}=\dfrac{1}{2}$
$\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}=AD.AB.\cos \angle BAD=1.1.\cos {{60}^{0}}=\dfrac{1}{2}$
$\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{AB}=AA'.AB.\cos \angle A'AB=1.1.\cos {{60}^{0}}=\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow M{{N}^{2}}=14+12.\dfrac{1}{2}-4.\dfrac{1}{2}-6.\dfrac{1}{2}=15.$
Vậy $MN=\sqrt{15}.$