Google
Câu hỏi: Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình chữ nhật với $AB=2a, BC=a.$ Biết $\widehat{A'AB}={{90}^{0}}$ và $AA'=a\sqrt{5}, CA'=2a\sqrt{2}.$ Thể tích khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ bằng
A. ${{a}^{3}}$.
B. $2{{a}^{3}}$.
C. $3{{a}^{3}}$.
D. $4{{a}^{3}}$.
$\overrightarrow{C{A}'}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{C{C}'}\Rightarrow {{\overrightarrow{C{A}'}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{C{C}'} \right)}^{2}}\Leftrightarrow 8{{a}^{2}}=4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}+5{{a}^{2}}+2.a.a\sqrt{5}\cos {C}'CB$
Suy ra $\cos {C}'CB=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\cos {D}'DA\Rightarrow \cos {A}'AD=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của ${A}'$ trên $AD$. Có $\cos {A}'AD=\dfrac{AH}{A{A}'}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow AH=a$ nên $H\equiv D$.
Suy ra $A{D}'=2a$ ; ${{S}_{AD{D}'{A}'}}={A}'D.DA=2{{a}^{2}}$.
Có $CD\bot DA; CD\bot D{D}'\Rightarrow CD\bot \left( AD{D}'{A}' \right)$ $\Rightarrow $ ${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=CD.{{S}_{AD{D}'{A}'}}=4{{a}^{3}}$.
A. ${{a}^{3}}$.
B. $2{{a}^{3}}$.
C. $3{{a}^{3}}$.
D. $4{{a}^{3}}$.
Suy ra $\cos {C}'CB=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\cos {D}'DA\Rightarrow \cos {A}'AD=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của ${A}'$ trên $AD$. Có $\cos {A}'AD=\dfrac{AH}{A{A}'}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow AH=a$ nên $H\equiv D$.
Suy ra $A{D}'=2a$ ; ${{S}_{AD{D}'{A}'}}={A}'D.DA=2{{a}^{2}}$.
Có $CD\bot DA; CD\bot D{D}'\Rightarrow CD\bot \left( AD{D}'{A}' \right)$ $\Rightarrow $ ${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=CD.{{S}_{AD{D}'{A}'}}=4{{a}^{3}}$.
Đáp án D.