Google
Câu hỏi: Cho hình hộp $ABCD . A'B'C'D'$ có chiều cao $h=15$ và diện tích đáy $S=16$. Gọi $E$, $F$, $G$, $H$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là các điểm trên các cạnh $AA'$, $BB'$, $CC'$, $DD'$ và thỏa mãn $\dfrac{AM}{AA'}=\dfrac{DQ}{DD'}=\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{BN}{BB'}=\dfrac{CP}{CC'}=\dfrac{2}{3}$. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm $M$, $N$, $P$, $Q$, $E$, $F$, $G$, $H$ bằng
A. $120$.
B. $100$.
C. $160$.
D. $140$.
Gọi $O$ là tâm của hình hộp.
Rõ ràng các điểm $M$, $N$, $P$, $Q$, $A$, $B$, $C$, $D$ lần lượt là ảnh của các điểm $P$, $Q$, $M$, $N$, $C'$, $D'$, $A'$, $B'$ qua phép đối xứng tâm $O$.
Suy ra hai khối đa diện $MNPQABCD$ và $PQMNC'D'A'B'$ bằng nhau
$\Rightarrow {{V}_{MNPQABCD}}={{V}_{PQMNC'D'A'B'}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{ABCD. A'B'C'D'}}=\dfrac{1}{2}\cdot h . S=\dfrac{1}{2}\cdot 20 . 16=160$ $\left( 1 \right)$.
Hình bình hành $ABCD$ có $E$, $F$, $G$, $H$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $DA$
Nên các tam giác $BEF$, $CFG$, $DGH$, $AHE$ có diện tích bằng nhau và bằng $\dfrac{1}{8}{{S}_{ABCD}}=2$.
Mặt khác:
+) $\dfrac{AM}{AA'}=\dfrac{DQ}{DD'}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow d\left( M , \left( ABCD \right) \right)=d\left( Q , \left( ABCD \right) \right)=\dfrac{h}{3}=5$
+) $\dfrac{BN}{BB'}=\dfrac{CP}{CC'}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow d\left( N , \left( ABCD \right) \right)=d\left( P , \left( ABCD \right) \right)=\dfrac{2h}{3}=10$
Do đó: ${{V}_{M. AHE}}={{V}_{Q.DGH}}=\dfrac{1}{3}\cdot 2. 5=\dfrac{10}{3}$ và ${{V}_{N. BEF}}={{V}_{P.CFG}}=\dfrac{1}{3}\cdot 2. 10=\dfrac{20}{3}$.
Ta có:
${{V}_{MNPQEFGH}}={{V}_{MNPQABCD}}-\left( {{V}_{M. AHE}}+{{V}_{Q.DGH}}+{{V}_{N. BEF}}+{{V}_{P.CFG}} \right)=160-\left( \dfrac{10}{3}+\dfrac{10}{3}+\dfrac{20}{3}+\dfrac{20}{3} \right)=140$.
A. $120$.
B. $100$.
C. $160$.
D. $140$.
Gọi $O$ là tâm của hình hộp.
Rõ ràng các điểm $M$, $N$, $P$, $Q$, $A$, $B$, $C$, $D$ lần lượt là ảnh của các điểm $P$, $Q$, $M$, $N$, $C'$, $D'$, $A'$, $B'$ qua phép đối xứng tâm $O$.
Suy ra hai khối đa diện $MNPQABCD$ và $PQMNC'D'A'B'$ bằng nhau
$\Rightarrow {{V}_{MNPQABCD}}={{V}_{PQMNC'D'A'B'}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{ABCD. A'B'C'D'}}=\dfrac{1}{2}\cdot h . S=\dfrac{1}{2}\cdot 20 . 16=160$ $\left( 1 \right)$.
Hình bình hành $ABCD$ có $E$, $F$, $G$, $H$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $DA$
Nên các tam giác $BEF$, $CFG$, $DGH$, $AHE$ có diện tích bằng nhau và bằng $\dfrac{1}{8}{{S}_{ABCD}}=2$.
Mặt khác:
+) $\dfrac{AM}{AA'}=\dfrac{DQ}{DD'}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow d\left( M , \left( ABCD \right) \right)=d\left( Q , \left( ABCD \right) \right)=\dfrac{h}{3}=5$
+) $\dfrac{BN}{BB'}=\dfrac{CP}{CC'}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow d\left( N , \left( ABCD \right) \right)=d\left( P , \left( ABCD \right) \right)=\dfrac{2h}{3}=10$
Do đó: ${{V}_{M. AHE}}={{V}_{Q.DGH}}=\dfrac{1}{3}\cdot 2. 5=\dfrac{10}{3}$ và ${{V}_{N. BEF}}={{V}_{P.CFG}}=\dfrac{1}{3}\cdot 2. 10=\dfrac{20}{3}$.
Ta có:
${{V}_{MNPQEFGH}}={{V}_{MNPQABCD}}-\left( {{V}_{M. AHE}}+{{V}_{Q.DGH}}+{{V}_{N. BEF}}+{{V}_{P.CFG}} \right)=160-\left( \dfrac{10}{3}+\dfrac{10}{3}+\dfrac{20}{3}+\dfrac{20}{3} \right)=140$.
Đáp án D.