Google
Câu hỏi: Cho hình hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a$, $AD=a\sqrt{3}$. Hình chiếu vuông góc của ${A}'$ lên $\left( ABCD \right)$ trùng với giao điểm của $AC$ và $BD$. Khoảng cách từ ${B}'$ đến mặt phẳng $\left( {A}'BD \right)$ là
A. $\dfrac{a}{2}$.
B. $a\sqrt{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
Dựng $AH\bot BD$.
Ta có: ${A}'I\bot \left( ABCD \right)$ mà $AH\subset \left( ABCD \right)$ nên ${A}'I\bot AH$.
Từ đó ta được $AH\bot \left( {A}'BD \right)$.
Suy ra $d\left( {B}',\left( {A}'BD \right) \right)=d\left( A,\left( {A}'BD \right) \right)=AH$.
Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$ : $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}\Rightarrow AH=\sqrt{\dfrac{A{{B}^{2}}.A{{D}^{2}}}{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Vậy $d\left( {B}',\left( {A}'BD \right) \right)=AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
A. $\dfrac{a}{2}$.
B. $a\sqrt{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
Dựng $AH\bot BD$.
Ta có: ${A}'I\bot \left( ABCD \right)$ mà $AH\subset \left( ABCD \right)$ nên ${A}'I\bot AH$.
Từ đó ta được $AH\bot \left( {A}'BD \right)$.
Suy ra $d\left( {B}',\left( {A}'BD \right) \right)=d\left( A,\left( {A}'BD \right) \right)=AH$.
Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$ : $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}\Rightarrow AH=\sqrt{\dfrac{A{{B}^{2}}.A{{D}^{2}}}{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Vậy $d\left( {B}',\left( {A}'BD \right) \right)=AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Đáp án D.