Google
Câu hỏi: Cho hình hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có ${A}'B$ vuông góc với mặt phẳng đáy $\left( ABCD \right)$ ; góc giữa đường thẳng $A{A}'$ với $\left( ABCD \right)$ bằng 45. Khoảng cách từ A đến các đường thẳng $B{B}'$ và $D{D}'$ bằng 1. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( B{B}'{C}'C \right)$ và mặt phẳng $\left( C{C}'{D}'D \right)$ bằng 60. Thể tích khối hộp đã cho bằng
A. $2\sqrt{3}$.
B. 2.
C. $\sqrt{3}$.
D. $3\sqrt{3}$.
A. $2\sqrt{3}$.
B. 2.
C. $\sqrt{3}$.
D. $3\sqrt{3}$.
Ta có: ${A}'B\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \left( \widehat{A{A}',\left( ABCD \right)} \right)=\widehat{{A}'AB}=45{}^\circ $.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của ${A}'$ lên đường thẳng $B{B}'$ và $D{D}'$.
$\Rightarrow {A}'H={A}'K=1$ và $A{A}'\bot \left( {A}'HK \right)$.
Hình bình hành $AB{B}'{A}'$ có ${A}'B\bot AB$ và $\widehat{{A}'AB}=45{}^\circ $ nên các tam giác ${A}'AB$ và ${A}'B{B}'$ là các tam giác vuông cân tại B và ${A}'$. Từ đó suy ra H là trung điểm của $B{B}'$ và ${A}'H=1\Rightarrow B{B}'=2{A}'H=2$.
Vì $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là hình hộp nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ và $\left( CD{D}'{C}' \right)$ bằng góc giữa hai mặt phẳng $\left( AB{B}'{A}' \right)$ và $\left( AD{D}'{A}' \right)$. Do đó, $\left( \widehat{\left( BC{C}'{B}' \right),\left( CD{D}'{C}' \right)} \right)=\left( \widehat{{A}'H,{A}'K} \right)=60{}^\circ $.
Vậy $\widehat{H{A}'K}=60{}^\circ $ hoặc $\widehat{H{A}'K}=120{}^\circ $. ${{S}_{\Delta {A}'HK}}=\dfrac{1}{2}{A}'H.{A}'K\sin \widehat{H{A}'K}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
Từ đó, suy ra ${{V}_{ABD.{A}'{B}'{D}'}}=A{A}'.{{S}_{\Delta {A}'HK}}=2.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Vì $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là hình hộp nên ${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=2{{V}_{ABD.{A}'{B}'{D}'}}=\sqrt{3}$.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của ${A}'$ lên đường thẳng $B{B}'$ và $D{D}'$.
$\Rightarrow {A}'H={A}'K=1$ và $A{A}'\bot \left( {A}'HK \right)$.
Hình bình hành $AB{B}'{A}'$ có ${A}'B\bot AB$ và $\widehat{{A}'AB}=45{}^\circ $ nên các tam giác ${A}'AB$ và ${A}'B{B}'$ là các tam giác vuông cân tại B và ${A}'$. Từ đó suy ra H là trung điểm của $B{B}'$ và ${A}'H=1\Rightarrow B{B}'=2{A}'H=2$.
Vì $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là hình hộp nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ và $\left( CD{D}'{C}' \right)$ bằng góc giữa hai mặt phẳng $\left( AB{B}'{A}' \right)$ và $\left( AD{D}'{A}' \right)$. Do đó, $\left( \widehat{\left( BC{C}'{B}' \right),\left( CD{D}'{C}' \right)} \right)=\left( \widehat{{A}'H,{A}'K} \right)=60{}^\circ $.
Vậy $\widehat{H{A}'K}=60{}^\circ $ hoặc $\widehat{H{A}'K}=120{}^\circ $. ${{S}_{\Delta {A}'HK}}=\dfrac{1}{2}{A}'H.{A}'K\sin \widehat{H{A}'K}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
Từ đó, suy ra ${{V}_{ABD.{A}'{B}'{D}'}}=A{A}'.{{S}_{\Delta {A}'HK}}=2.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Vì $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là hình hộp nên ${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=2{{V}_{ABD.{A}'{B}'{D}'}}=\sqrt{3}$.
Đáp án C.