Google
Câu hỏi: Cho hình hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có $A{A}'=a$. Gọi M, N là hai điểm thuộc cạnh $B{B}'$ và $D{D}'$ sao cho $BM=DN=\dfrac{a}{3}$. Mặt phẳng (AMN) chia khối hộp thành hai phần, gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích khối đa diện chứa ${A}'$ và ${{V}_{2}}$ là thể tích phần còn lại. Tỉ số $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$ bằng
A. $\dfrac{3}{2}.$
B. 2.
C. $\dfrac{5}{2}.$
D. 3.
Cách 1:
Gọi O và ${O}'$ lần lượt là tâm hai hình bình hành ABCD và ${A}'{B}'{C}'{D}'.$
Gọi $I=MN\cap O{O}'$ và $P=AI\cap C{C}'.$
Khi đó thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (AMN) là hình bình hành AMPN. Gọi V là thể tích của khối $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'.$
Ta có $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{1}{4}\left( \dfrac{{B}'M}{{B}'B}+\dfrac{{D}'N}{{D}'D}+\dfrac{{A}'A}{{A}'A}+\dfrac{{C}'P}{{C}'C} \right)=\dfrac{1}{4}\left( \dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}+1+\dfrac{1}{3} \right)=\dfrac{2}{3}$. Vậy $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=2.$
Cách 2:
Gọi E, G lần lượt thuộc đoạn thẳng $A{A}'$ và $C{C}'$ sao cho $AG=CE=\dfrac{a}{3}$, gọi F là trung điểm của đoạn thẳng $E{C}'$. Dễ thấy $AM\parallel NF$ (vì cùng song song với DE) nên mặt phẳng (AMN) cắt $C{C}'$ tại F, do đó ${{V}_{2}}={{V}_{AMB.NFCD}}.$
Ta có $AG\parallel EF,AG=EF,\Delta GMN=\Delta ENM\Rightarrow {{V}_{A.GMN}}={{V}_{F.EMN}}.$
Suy ra ${{V}_{2}}={{V}_{ABCD.GMEN}}=\dfrac{1}{3}.{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}$ và ${{V}_{1}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}$. Vậy $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=2.$
A. $\dfrac{3}{2}.$
B. 2.
C. $\dfrac{5}{2}.$
D. 3.
Cách 1:
Gọi O và ${O}'$ lần lượt là tâm hai hình bình hành ABCD và ${A}'{B}'{C}'{D}'.$
Gọi $I=MN\cap O{O}'$ và $P=AI\cap C{C}'.$
Khi đó thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (AMN) là hình bình hành AMPN. Gọi V là thể tích của khối $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'.$
Ta có $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{1}{4}\left( \dfrac{{B}'M}{{B}'B}+\dfrac{{D}'N}{{D}'D}+\dfrac{{A}'A}{{A}'A}+\dfrac{{C}'P}{{C}'C} \right)=\dfrac{1}{4}\left( \dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}+1+\dfrac{1}{3} \right)=\dfrac{2}{3}$. Vậy $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=2.$
Cách 2:
Gọi E, G lần lượt thuộc đoạn thẳng $A{A}'$ và $C{C}'$ sao cho $AG=CE=\dfrac{a}{3}$, gọi F là trung điểm của đoạn thẳng $E{C}'$. Dễ thấy $AM\parallel NF$ (vì cùng song song với DE) nên mặt phẳng (AMN) cắt $C{C}'$ tại F, do đó ${{V}_{2}}={{V}_{AMB.NFCD}}.$
Ta có $AG\parallel EF,AG=EF,\Delta GMN=\Delta ENM\Rightarrow {{V}_{A.GMN}}={{V}_{F.EMN}}.$
Suy ra ${{V}_{2}}={{V}_{ABCD.GMEN}}=\dfrac{1}{3}.{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}$ và ${{V}_{1}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}$. Vậy $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=2.$
Đáp án B.