Google
Câu hỏi: Cho hình hộp $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C D^{\prime}$ có tất cả các cạnh đều bằng 1 và các góc phẳng đỉnh $A$ đều bằng $60^{\circ}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A B^{\prime}$ và $A^{\prime} C^{\prime}$.
A. $\dfrac{3}{11}$.
B. $\dfrac{2}{11}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{11}$.
D. $\dfrac{\sqrt{22}}{11}$.
Ta có $\widehat{B A A^{\prime}}=\widehat{D A A^{\prime}}=\widehat{B A D}=60^{\circ}$ và $A B=A D=A A^{\prime}=1$.
Khi đó $\triangle A B D, \triangle A D A^{\prime}$ và $\triangle A B A^{\prime}$ đều cạnh bằng 1 .
$\Rightarrow A^{\prime} D=A^{\prime} A=A^{\prime} B=1$. Suy ra hình chiếu của $A^{\prime}$ lên $(A B C D)$ là tâm $\mathrm{H}$ của $\triangle A B D$ đều.
Ta có $A B^{\prime} / / D C^{\prime} \Rightarrow d\left(A B^{\prime} ; A^{\prime} C^{\prime}\right)=d\left(A B^{\prime} ;\left(D A^{\prime} C^{\prime}\right)\right)=d\left(H ;\left(D A^{\prime} C^{\prime}\right)\right)$.
Dựng hình bình hành $D C A J$. Từ $H$ kẻ $H K \perp D J(K \in D J)$, ta có $H K / / D B$.
Từ $H$ kẻ $H L \perp A^{\prime} K\left(L \in A^{\prime} K\right) \Rightarrow H L \perp\left(D A^{\prime} C^{\prime}\right) \Rightarrow d\left(H ;\left(D A^{\prime} C^{\prime}\right)\right)=H L$.
Ta có: $H K=\dfrac{1}{2}, A^{\prime} H=\sqrt{1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
Xét tam giác $A^{\prime} H K: \dfrac{1}{H L^2}=\dfrac{1}{H K^2}+\dfrac{1}{A^{\prime} H^2} \Rightarrow H L=\dfrac{\sqrt{22}}{11}$.
A. $\dfrac{3}{11}$.
B. $\dfrac{2}{11}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{11}$.
D. $\dfrac{\sqrt{22}}{11}$.
Khi đó $\triangle A B D, \triangle A D A^{\prime}$ và $\triangle A B A^{\prime}$ đều cạnh bằng 1 .
$\Rightarrow A^{\prime} D=A^{\prime} A=A^{\prime} B=1$. Suy ra hình chiếu của $A^{\prime}$ lên $(A B C D)$ là tâm $\mathrm{H}$ của $\triangle A B D$ đều.
Ta có $A B^{\prime} / / D C^{\prime} \Rightarrow d\left(A B^{\prime} ; A^{\prime} C^{\prime}\right)=d\left(A B^{\prime} ;\left(D A^{\prime} C^{\prime}\right)\right)=d\left(H ;\left(D A^{\prime} C^{\prime}\right)\right)$.
Dựng hình bình hành $D C A J$. Từ $H$ kẻ $H K \perp D J(K \in D J)$, ta có $H K / / D B$.
Từ $H$ kẻ $H L \perp A^{\prime} K\left(L \in A^{\prime} K\right) \Rightarrow H L \perp\left(D A^{\prime} C^{\prime}\right) \Rightarrow d\left(H ;\left(D A^{\prime} C^{\prime}\right)\right)=H L$.
Ta có: $H K=\dfrac{1}{2}, A^{\prime} H=\sqrt{1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
Xét tam giác $A^{\prime} H K: \dfrac{1}{H L^2}=\dfrac{1}{H K^2}+\dfrac{1}{A^{\prime} H^2} \Rightarrow H L=\dfrac{\sqrt{22}}{11}$.
Đáp án D.