Google
Câu hỏi: Cho hình hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông cạnh $a,$ chiều cao $AA'=a\sqrt{3}.$ Gọi $M$ là trung điểm của $CC'.$ Tính thể tích của khối tứ diện $BDA'M.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{15}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.$
Ta có ${{V}_{ABDM}}={{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}-{{V}_{A'.ABD}}-{{V}_{A'B'BMC'}}-{{V}_{A'D'DMC'}}-{{V}_{MBCD}}$
${{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=a\sqrt{3}.{{a}^{2}}={{a}^{3}}\sqrt{3}.$
${{V}_{A'.ACD}}=\dfrac{1}{3}AA'.{{S}_{\Delta ABD}}=\dfrac{1}{6}{{a}^{3}}\sqrt{3}.$
${{V}_{M.BCD}}=\dfrac{1}{3}MC.{{S}_{\Delta BCD}}=\dfrac{1}{12}{{a}^{3}}\sqrt{3}.$
${{V}_{A'.B'BMC'}}=\dfrac{1}{2}A'B'.{{S}_{B'BMC'}}=\dfrac{1}{4}{{a}^{3}}\sqrt{3}.$
${{V}_{A'.D'DMC'}}=\dfrac{1}{3}A'D'.{{S}_{D'DMC'}}=\dfrac{1}{4}{{a}^{3}}\sqrt{3}.$
Từ đó suy ra ${{V}_{ABDM}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{15}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.$
Ta có ${{V}_{ABDM}}={{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}-{{V}_{A'.ABD}}-{{V}_{A'B'BMC'}}-{{V}_{A'D'DMC'}}-{{V}_{MBCD}}$
${{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=a\sqrt{3}.{{a}^{2}}={{a}^{3}}\sqrt{3}.$
${{V}_{A'.ACD}}=\dfrac{1}{3}AA'.{{S}_{\Delta ABD}}=\dfrac{1}{6}{{a}^{3}}\sqrt{3}.$
${{V}_{M.BCD}}=\dfrac{1}{3}MC.{{S}_{\Delta BCD}}=\dfrac{1}{12}{{a}^{3}}\sqrt{3}.$
${{V}_{A'.B'BMC'}}=\dfrac{1}{2}A'B'.{{S}_{B'BMC'}}=\dfrac{1}{4}{{a}^{3}}\sqrt{3}.$
${{V}_{A'.D'DMC'}}=\dfrac{1}{3}A'D'.{{S}_{D'DMC'}}=\dfrac{1}{4}{{a}^{3}}\sqrt{3}.$
Từ đó suy ra ${{V}_{ABDM}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}.$
Đáp án B.