Google
Câu hỏi: Cho hình $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\dfrac{\sqrt{3}}{9}{{x}^{3}}$, cung tròn có phương trình $y=\sqrt{4-{{x}^{2}}}$ (với $0\le x\le 2)$ và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ)
Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành là $V=\left( -\dfrac{a}{b}\sqrt{3}+\dfrac{c}{d} \right)\pi $, trong đó $a,b,c,d\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ và $\dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}$ là các phân số tối giản. Tính $P=a+b-c+d$.
A. $P=40.$
B. $P=46.$
C. $P=16.$
D. $P=14.$
A. $P=40.$
B. $P=46.$
C. $P=16.$
D. $P=14.$
Phương trình hoành độ giao điểm:
$\sqrt{4-{{x}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{9}{{x}^{3}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{27}{{x}^{6}}=4-{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{6}}+27{{x}^{2}}-108=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=3\Rightarrow x=\sqrt{3}$
Ta thấy thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành bằng $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}$ Trong đó:
+) ${{V}_{1}}=\left\{ x\in \left[ 0;\sqrt{3} \right],y=\dfrac{\sqrt{3}}{9}{{x}^{3}},Ox \right\}$. Ta có:
${{V}_{1}}=\pi \int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{9}{{x}^{3}} \right)\text{d}x}=\pi \int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\dfrac{1}{27}{{x}^{6}}\text{d}x}=\left. \dfrac{\pi }{27}.\dfrac{{{x}^{7}}}{7} \right|_{0}^{\sqrt{3}}=\dfrac{\pi \sqrt{3}}{7}$.
+) ${{V}_{2}}=\left\{ x\in \left[ \sqrt{3};2 \right],y=\sqrt{4-{{x}^{2}}},Ox \right\}$. Ta có:
${{V}_{2}}=\pi \int\limits_{\sqrt{3}}^{2}{{{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}\text{d}x}=\pi \int\limits_{\sqrt{3}}^{2}{\left( 4-{{x}^{2}} \right)\text{d}x}=\pi \left. \left( 4x-\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right) \right|_{\sqrt{3}}^{2}=\pi \left( 8-\dfrac{8}{3} \right)-\pi \left( 4\sqrt{3}-\sqrt{3} \right)=\dfrac{16\pi }{3}-3\pi \sqrt{3}$
Khi đó ta có: $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\dfrac{16\pi }{3}-3\pi \sqrt{3}+\dfrac{\pi \sqrt{3}}{7}=\pi \left( -\dfrac{20\sqrt{3}}{7}+\dfrac{16}{3} \right)$.
Suy ra: $\left\{ \begin{aligned}
& a=20 \\
& b=7 \\
& c=16 \\
& d=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow P=a+b-c+d=14$.
$\sqrt{4-{{x}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{9}{{x}^{3}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{27}{{x}^{6}}=4-{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{6}}+27{{x}^{2}}-108=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=3\Rightarrow x=\sqrt{3}$
Ta thấy thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành bằng $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}$ Trong đó:
+) ${{V}_{1}}=\left\{ x\in \left[ 0;\sqrt{3} \right],y=\dfrac{\sqrt{3}}{9}{{x}^{3}},Ox \right\}$. Ta có:
${{V}_{1}}=\pi \int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{9}{{x}^{3}} \right)\text{d}x}=\pi \int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\dfrac{1}{27}{{x}^{6}}\text{d}x}=\left. \dfrac{\pi }{27}.\dfrac{{{x}^{7}}}{7} \right|_{0}^{\sqrt{3}}=\dfrac{\pi \sqrt{3}}{7}$.
+) ${{V}_{2}}=\left\{ x\in \left[ \sqrt{3};2 \right],y=\sqrt{4-{{x}^{2}}},Ox \right\}$. Ta có:
${{V}_{2}}=\pi \int\limits_{\sqrt{3}}^{2}{{{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}\text{d}x}=\pi \int\limits_{\sqrt{3}}^{2}{\left( 4-{{x}^{2}} \right)\text{d}x}=\pi \left. \left( 4x-\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right) \right|_{\sqrt{3}}^{2}=\pi \left( 8-\dfrac{8}{3} \right)-\pi \left( 4\sqrt{3}-\sqrt{3} \right)=\dfrac{16\pi }{3}-3\pi \sqrt{3}$
Khi đó ta có: $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\dfrac{16\pi }{3}-3\pi \sqrt{3}+\dfrac{\pi \sqrt{3}}{7}=\pi \left( -\dfrac{20\sqrt{3}}{7}+\dfrac{16}{3} \right)$.
Suy ra: $\left\{ \begin{aligned}
& a=20 \\
& b=7 \\
& c=16 \\
& d=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow P=a+b-c+d=14$.
Đáp án D.