Google
Câu hỏi: Cho hình chữ nhật ABCD và hình thang cân ABEF nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Biết $AB=a;$ $BC=BE=a\sqrt{2}$, $AB//EF$ và $EF=3a$ (tham khảo hình vẽ), thể tích khối đa diện $ABCDEF$ bằng
A. $\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{2}$
B. $\dfrac{5\sqrt{2}{{a}^{3}}}{6}$
C. $\sqrt{2}{{a}^{3}}$
D. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$
Do $\left\{ \begin{aligned}
& CB\bot AB=\left( ABCD \right)\bigcap \left( ABEF \right) \\
& \left( ABCD \right)\bot \left( ABEF \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CB\bot \left( ABEF \right)$
Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên EF.
Khi đó: $EN=NM=MF=a$ và
$\begin{aligned}
& {{V}_{ABCDEF}}={{V}_{C.BNE}}+{{V}_{BNC.AMD}}+{{V}_{D.AME}}=2{{V}_{C.BNE}}+{{V}_{BNC.AMD}} \\
& =2.\dfrac{1}{3}CB.{{S}_{BNE}}+AB.{{S}_{CBN}}=\dfrac{2}{3}.a\sqrt{2}.\dfrac{1}{2}.{{a}^{2}}+a.\dfrac{1}{2}.a\sqrt{2}.a=\dfrac{5\sqrt{2}{{a}^{3}}}{6} \\
\end{aligned}$
A. $\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{2}$
B. $\dfrac{5\sqrt{2}{{a}^{3}}}{6}$
C. $\sqrt{2}{{a}^{3}}$
D. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$
Do $\left\{ \begin{aligned}
& CB\bot AB=\left( ABCD \right)\bigcap \left( ABEF \right) \\
& \left( ABCD \right)\bot \left( ABEF \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CB\bot \left( ABEF \right)$
Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên EF.
Khi đó: $EN=NM=MF=a$ và
$\begin{aligned}
& {{V}_{ABCDEF}}={{V}_{C.BNE}}+{{V}_{BNC.AMD}}+{{V}_{D.AME}}=2{{V}_{C.BNE}}+{{V}_{BNC.AMD}} \\
& =2.\dfrac{1}{3}CB.{{S}_{BNE}}+AB.{{S}_{CBN}}=\dfrac{2}{3}.a\sqrt{2}.\dfrac{1}{2}.{{a}^{2}}+a.\dfrac{1}{2}.a\sqrt{2}.a=\dfrac{5\sqrt{2}{{a}^{3}}}{6} \\
\end{aligned}$
Đáp án B.