Google
Câu hỏi: Cho hình chữ nhật $ABCD$ tâm $I$, biết $AB=a$ , $AD=2a$ . Gọi $J$ là trung điểm $BC$, đường thẳng qua $I$ và vuông góc với $AC$ cắt $CD$ tại $K$. Thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi cho tứ giác $CKIJ$ quay xung quanh trục $CK$ bằng ?
A. $\dfrac{5}{6}\pi {{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{7}{6}\pi {{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{5}{2}\pi {{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{14}{3}\pi {{a}^{3}}$.
Gọi H là trung điểm CD, suy ra tứ giác CHIJ là hình chữ nhật.
Khi cho tứ giác CKIJ quay xung quanh trục CK ta có:
Hình chữ nhật CHIJ tạo thành khối trụ có thể tích ${{V}_{1}}$
Tam giác IHK tạo thành khối nón có thể tích ${{V}_{2}}$
Suy ra : $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}$
${{V}_{1}}=\pi .C{{J}^{2}}.CH=\pi {{a}^{2}}.\dfrac{a}{2}=\dfrac{1}{2}\pi {{a}^{3}}$, ${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi .H{{I}^{2}}.HK=\dfrac{1}{3}\pi {{a}^{2}}.HK$.
Với :
$\begin{aligned}
& IC=\sqrt{I{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}; \\
& \tan \widehat{ICH}=\dfrac{IH}{CH}=2\Rightarrow IK=IC.\tan \widehat{ICH}=2.\dfrac{a\sqrt{5}}{2}=a\sqrt{5} \\
& \Rightarrow HK=\sqrt{I{{K}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{5{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=2a. \\
\end{aligned}$
${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi .H{{I}^{2}}.HK=\dfrac{1}{3}\pi {{a}^{2}}.2a=\dfrac{2}{3}\pi {{a}^{3}}$.
Vậy: $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\dfrac{1}{2}\pi {{a}^{3}}+\dfrac{2}{3}\pi {{a}^{3}}=\dfrac{7}{6}\pi {{a}^{3}}.$
A. $\dfrac{5}{6}\pi {{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{7}{6}\pi {{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{5}{2}\pi {{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{14}{3}\pi {{a}^{3}}$.
Gọi H là trung điểm CD, suy ra tứ giác CHIJ là hình chữ nhật.
Khi cho tứ giác CKIJ quay xung quanh trục CK ta có:
Hình chữ nhật CHIJ tạo thành khối trụ có thể tích ${{V}_{1}}$
Tam giác IHK tạo thành khối nón có thể tích ${{V}_{2}}$
Suy ra : $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}$
${{V}_{1}}=\pi .C{{J}^{2}}.CH=\pi {{a}^{2}}.\dfrac{a}{2}=\dfrac{1}{2}\pi {{a}^{3}}$, ${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi .H{{I}^{2}}.HK=\dfrac{1}{3}\pi {{a}^{2}}.HK$.
Với :
$\begin{aligned}
& IC=\sqrt{I{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}; \\
& \tan \widehat{ICH}=\dfrac{IH}{CH}=2\Rightarrow IK=IC.\tan \widehat{ICH}=2.\dfrac{a\sqrt{5}}{2}=a\sqrt{5} \\
& \Rightarrow HK=\sqrt{I{{K}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{5{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=2a. \\
\end{aligned}$
${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi .H{{I}^{2}}.HK=\dfrac{1}{3}\pi {{a}^{2}}.2a=\dfrac{2}{3}\pi {{a}^{3}}$.
Vậy: $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\dfrac{1}{2}\pi {{a}^{3}}+\dfrac{2}{3}\pi {{a}^{3}}=\dfrac{7}{6}\pi {{a}^{3}}.$
Đáp án B.