Google
Câu hỏi: Cho hình chữ nhật ABCD có $AB=a,AD=2a.$ Gọi I là giao điểm của hao đường chéo AC, BD,J là trung điểm của BC, đường thẳng qua I vuông góc với AC cắt CD tại điểm K. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay tứ giác CKIJ quanh trục CK bằng
A. $\dfrac{5}{9}\pi {{a}^{3}}$
B. $\dfrac{5}{2}\pi {{a}^{3}}$
C. $\dfrac{14}{6}\pi {{a}^{3}}$
D. $\dfrac{7}{6}\pi {{a}^{3}}$
Dựng $IH\bot CD$ ta có $IH=\dfrac{AD}{2}=a$
Khi quay tứ giác IJCH quanh CK ta được khối trụ có thể tích là ${{V}_{1}}=\pi .C{{J}^{2}}.CH=\pi .{{a}^{2}}.\dfrac{a}{2}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{2}$.
Lại có $\tan \widehat{ACD}=2a\Rightarrow IK=IC\tan \widehat{ACD}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.2=a\sqrt{5}$
$\Rightarrow KC=\dfrac{5a}{2}\Rightarrow KH=KC-HC=2a$
Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác KIH quanh trục CK là ${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi I{{H}^{2}}.KH=\dfrac{2\pi {{a}^{3}}}{3}$
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\dfrac{7}{6}\pi {{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{5}{2}\pi {{a}^{3}}$
C. $\dfrac{14}{6}\pi {{a}^{3}}$
D. $\dfrac{7}{6}\pi {{a}^{3}}$
Dựng $IH\bot CD$ ta có $IH=\dfrac{AD}{2}=a$
Khi quay tứ giác IJCH quanh CK ta được khối trụ có thể tích là ${{V}_{1}}=\pi .C{{J}^{2}}.CH=\pi .{{a}^{2}}.\dfrac{a}{2}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{2}$.
Lại có $\tan \widehat{ACD}=2a\Rightarrow IK=IC\tan \widehat{ACD}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.2=a\sqrt{5}$
$\Rightarrow KC=\dfrac{5a}{2}\Rightarrow KH=KC-HC=2a$
Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác KIH quanh trục CK là ${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi I{{H}^{2}}.KH=\dfrac{2\pi {{a}^{3}}}{3}$
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\dfrac{7}{6}\pi {{a}^{3}}$.
Đáp án D.