Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác ${S.ABCD}$ có đáy là hình vuông ; mặt bên ${\left( SAB \right)}$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm ${A}$ đến mặt phẳng ${\left( SCD \right)}$ bằng ${\dfrac{3\sqrt{7}a}{7}}$. Tính thể tích ${V}$ của khối chóp ${S.ABCD}$.
A. ${V=\dfrac{1}{3}{{a}^{3}}}$.
B. ${V={{a}^{3}}}$.
C. ${V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}}$.
D. ${V=\dfrac{2}{3}{{a}^{3}}}$.
Gọi H là trung điểm của cạnh AB $\Rightarrow $ SH $\bot $ AB.
Mà (SAB) $\bot $ (ABCD) theo giao tuyến AB $\Rightarrow $ SH $\bot $ (ABCD).
Gọi M là trung điểm của CD $\Rightarrow $ HM $\bot $ CD $\Rightarrow $ CD $\bot $ (SHM) $\Rightarrow $ (SCD) $\bot $ (SHM) theo giao tuyến là SM.
Kẻ HK $\bot $ SM tại K $\Rightarrow $ SK $\bot $ SCD) tại K
$\Rightarrow $ HK = d (H ;(SCD)) = d (AB; (SCD)) = d (A; (SCD)) = $\dfrac{3\sqrt{7}a}{7}$
Đặt cạnh hình vuông bằng x (x > 0), ta có: $SH=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}$
Ta có: $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{M}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{7}{9{{a}^{2}}}=\dfrac{4}{3{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{7}{9{{a}^{2}}}=\dfrac{7}{3{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x=a\sqrt{3}$
Suy ra ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SH=\dfrac{1}{3}.{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}.\dfrac{a\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}$
A. ${V=\dfrac{1}{3}{{a}^{3}}}$.
B. ${V={{a}^{3}}}$.
C. ${V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}}$.
D. ${V=\dfrac{2}{3}{{a}^{3}}}$.
Gọi H là trung điểm của cạnh AB $\Rightarrow $ SH $\bot $ AB.
Mà (SAB) $\bot $ (ABCD) theo giao tuyến AB $\Rightarrow $ SH $\bot $ (ABCD).
Gọi M là trung điểm của CD $\Rightarrow $ HM $\bot $ CD $\Rightarrow $ CD $\bot $ (SHM) $\Rightarrow $ (SCD) $\bot $ (SHM) theo giao tuyến là SM.
Kẻ HK $\bot $ SM tại K $\Rightarrow $ SK $\bot $ SCD) tại K
$\Rightarrow $ HK = d (H ;(SCD)) = d (AB; (SCD)) = d (A; (SCD)) = $\dfrac{3\sqrt{7}a}{7}$
Đặt cạnh hình vuông bằng x (x > 0), ta có: $SH=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}$
Ta có: $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{M}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{7}{9{{a}^{2}}}=\dfrac{4}{3{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{7}{9{{a}^{2}}}=\dfrac{7}{3{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x=a\sqrt{3}$
Suy ra ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SH=\dfrac{1}{3}.{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}.\dfrac{a\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}$
Đáp án C.