Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, mặt bên $\left( SAB \right)$ là đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ bằng $\dfrac{3\sqrt{7}a}{7}.$ Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là
A. $V=\dfrac{2}{3}{{a}^{3}}$
B. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$
C. $V={{a}^{3}}$
D. $V=\dfrac{1}{3}{{a}^{3}}$
A. $V=\dfrac{2}{3}{{a}^{3}}$
B. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$
C. $V={{a}^{3}}$
D. $V=\dfrac{1}{3}{{a}^{3}}$
Phương pháp:
- Gọi $M$ là trung điểm của $AB,$ sử dụng định lí $\left\{ \begin{aligned}
& \left( P \right)\bot \left( Q \right)=d \\
& a\subset \left( P \right),a\bot d \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a\bot \left( Q \right) $ chứng minh $ SM\bot \left( ABCD \right)$.
- Đổi $d\left( A;\left( SCD \right) \right)$ sang $d\left( M;\left( SCD \right) \right)$.
- Đặt độ dài cạnh đáy bằng $x,$ tính $d\left( M;\left( SCD \right) \right)$ theo $x,$ từ đó tìm $x$ theo $a.$ - Tính th? Tích kh? I chóp ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}SM.{{S}_{ABCD}}.$
Cách giải:
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$.
Vì $\Delta SAB$ đều nên $SM\bot AB.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)=AB \\
& SM\subset \left( SAB \right),SM\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SM\bot \left( ABCD \right).$
Vì $AM//CD\Rightarrow AM//\left( SCD \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SCD \right) \right)=d\left( M;\left( SCD \right) \right).$
Trong $\left( SMN \right)$ kẻ $MK\bot SN$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot MN \\
& CD\bot SM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SMN \right)\Rightarrow CD\bot MK,\left\{ \begin{aligned}
& MK\bot SN \\
& MK\bot CD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow MK\bot \left( SCD \right) $ $ \Rightarrow d\left( M;\left( SCD \right) \right)=MK=\dfrac{3\sqrt{7}a}{7}.$
Đặt $AB=x\Rightarrow MN=AD=x,SM=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác $SMN$ ta có:
$\dfrac{1}{M{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{M{{H}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{{{\left( \dfrac{3a\sqrt{7}}{7} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{x\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{7}{9{{a}^{2}}}=\dfrac{7}{3{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x=a\sqrt{3}.$
Vậy thể tích hình chóp $S.ABCD$ là $V=\dfrac{1}{3}SM.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}.{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{3}.$
- Gọi $M$ là trung điểm của $AB,$ sử dụng định lí $\left\{ \begin{aligned}
& \left( P \right)\bot \left( Q \right)=d \\
& a\subset \left( P \right),a\bot d \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a\bot \left( Q \right) $ chứng minh $ SM\bot \left( ABCD \right)$.
- Đổi $d\left( A;\left( SCD \right) \right)$ sang $d\left( M;\left( SCD \right) \right)$.
- Đặt độ dài cạnh đáy bằng $x,$ tính $d\left( M;\left( SCD \right) \right)$ theo $x,$ từ đó tìm $x$ theo $a.$ - Tính th? Tích kh? I chóp ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}SM.{{S}_{ABCD}}.$
Cách giải:
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$.
Vì $\Delta SAB$ đều nên $SM\bot AB.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)=AB \\
& SM\subset \left( SAB \right),SM\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SM\bot \left( ABCD \right).$
Vì $AM//CD\Rightarrow AM//\left( SCD \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SCD \right) \right)=d\left( M;\left( SCD \right) \right).$
Trong $\left( SMN \right)$ kẻ $MK\bot SN$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot MN \\
& CD\bot SM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SMN \right)\Rightarrow CD\bot MK,\left\{ \begin{aligned}
& MK\bot SN \\
& MK\bot CD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow MK\bot \left( SCD \right) $ $ \Rightarrow d\left( M;\left( SCD \right) \right)=MK=\dfrac{3\sqrt{7}a}{7}.$
Đặt $AB=x\Rightarrow MN=AD=x,SM=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác $SMN$ ta có:
$\dfrac{1}{M{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{M{{H}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{{{\left( \dfrac{3a\sqrt{7}}{7} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{x\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{7}{9{{a}^{2}}}=\dfrac{7}{3{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x=a\sqrt{3}.$
Vậy thể tích hình chóp $S.ABCD$ là $V=\dfrac{1}{3}SM.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}.{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{3}.$
Đáp án B.