Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 6. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy (ABCD) là điểm H nằm trong đoạn AC sao cho HC=2HA. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng $60{}^\circ $. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng
A. $\dfrac{4\sqrt{2}}{3}.$
B. $3\sqrt{3}$.
C. $4\sqrt{2}$.
D. $5\sqrt{3}.$
A. $\dfrac{4\sqrt{2}}{3}.$
B. $3\sqrt{3}$.
C. $4\sqrt{2}$.
D. $5\sqrt{3}.$
Dễ thấy chóp S.ABCD nhận mặt phẳng (SAC) là mặt phẳng đối xứng, theo tính chất đối xứng ta có:
$d\left( A;\left( SCD \right) \right)=d\left( A;\left( SBC \right) \right)$
Dựng $\left\{ \begin{aligned}
& HE\bot BC \\
& HF\bot SE \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3}{2}d\left( H;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3}{2}HF$
Mặt khác $\widehat{\left( \left( SBC \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SEH}=60{}^\circ $
Suy ra $d=\dfrac{3}{2}HF=\dfrac{3}{2}HE\sin 60{}^\circ $, trong đó
$\dfrac{HE}{AB}=\dfrac{HC}{CA}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow HE=\dfrac{2}{3}AB=\dfrac{2}{3}.6=4\Rightarrow d=3\sqrt{3}.$
$d\left( A;\left( SCD \right) \right)=d\left( A;\left( SBC \right) \right)$
Dựng $\left\{ \begin{aligned}
& HE\bot BC \\
& HF\bot SE \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3}{2}d\left( H;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3}{2}HF$
Mặt khác $\widehat{\left( \left( SBC \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SEH}=60{}^\circ $
Suy ra $d=\dfrac{3}{2}HF=\dfrac{3}{2}HE\sin 60{}^\circ $, trong đó
$\dfrac{HE}{AB}=\dfrac{HC}{CA}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow HE=\dfrac{2}{3}AB=\dfrac{2}{3}.6=4\Rightarrow d=3\sqrt{3}.$
Đáp án B.