Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam...

Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và CD, O là tâm của hình vuông ABCD, H là hình chiếu của S trên IK.
Ta có: $\left. \begin{aligned}
& AB\bot SI \\
& AB\bot IK \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AB\bot \left( SIK \right)$
$\left. \begin{aligned}
& SH\bot AB \\
& SH\bot IK \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow SH\bot \left( ABC\text{D} \right)$
Qua O dựng đường thẳng song song với SH cắt SK tại J.
Mặt khác ta có: $SI=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{a}{2}, SK=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow S{{K}^{2}}+S{{I}^{2}}={{a}^{2}}=H{{K}^{2}}\Rightarrow \Delta SIK$ vuông ở S
$\Rightarrow SK\bot \left( SAB \right)$.
Qua I dựng đường thẳng song song với SK cắt OJ tại M. Khi đó, điểm M là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Theo cách dựng ở trên thì tứ giác IJKM là hình bình hành $\Rightarrow MB=JB$.
Lại có: $\tan \widehat{OKJ}=\dfrac{SI}{SK}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow J\text{O}=OK.\tan \widehat{OKJ}=\dfrac{a}{2\sqrt{3}}$.
$\Rightarrow J{{B}^{2}}=J{{\text{O}}^{2}}+O{{B}^{2}}=\dfrac{7{{\text{a}}^{2}}}{12}\Rightarrow JB=a\sqrt{\dfrac{7}{12}}$.
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng $a\sqrt{\dfrac{7}{12}}$.