Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$, mặt phẳng $\left( SAC \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( SBD \right)$. Biết khoảng cách từ $O$ đến các mặt phẳng $\left( SAB \right)$, $\left( SBC \right)$, $\left( SCD \right)$ lần lượt là $1$, $2$, $\sqrt{5}$. Tính khoảng cách $d$ từ $O$ đến mặt phẳng $\left( SAD \right)$.
A. $\dfrac{2\sqrt{95}}{19}$.
B. $\dfrac{\sqrt{95}}{10}$.
C. $\sqrt{2}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Gọi $p$, $q$, $u$, $v$ lần lượt là các khoảng cách từ $O$ đến các mặt phẳng $\left( SAB \right)$, $\left( SBC \right)$, $\left( SCD \right)$ $\left( SDA \right).$ Trong mặt phẳng $\left( SAC \right)$ dựng đường thẳng qua $O$ vuông góc với đường thẳng $SO$ cắt hai đường thẳng $SA$, $SC$ lần lượt tại ${A}'$, ${C}'$
Trong mặt phẳng $SBD$ dựng đường thẳng qua $O$ vuông góc với đường thẳng $SO$ cắt hai đường thẳng $SB$, $SD$ lần lượt tại ${B}'$, ${D}'$
Do $(SAC)\bot (SBD)$, $(SAC)\cap (SBD)=SO$, ${A}'{C}'\bot SO$ nên ${A}'{C}'\bot (SBD)$
$\Rightarrow {A}'{C}'\bot {B}'{D}'$
Khi đó tứ diện $OS{A}'{B}'$ có $OS$, $O{A}'$, $O{B}'$ đôi một vuông góc nên ta chứng minh được $\dfrac{1}{{{p}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{{{A}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{{{B}'}}^{2}}}(1)$
Chứng minh tương tự:
$\dfrac{1}{{{q}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{{{B}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{{{C}'}}^{2}}}(2)$
$\dfrac{1}{{{u}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{{{C}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{{{D}'}}^{2}}}(3)$
$\dfrac{1}{{{v}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{{{D}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{{{A}'}}^{2}}}(4)$
Từ $(1)$, $(2)$, $(3)$, $(4)$ ta có $\dfrac{1}{{{p}^{2}}}=-\dfrac{1}{{{u}^{2}}}+\dfrac{1}{{{q}^{2}}}+\dfrac{1}{{{v}^{2}}}$
Với $p=1$, $q=2$, $u=\sqrt{5}$ $\Rightarrow $ $\dfrac{1}{{{1}^{2}}}=-\dfrac{1}{{{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{2}^{2}}}+\dfrac{1}{{{v}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{{{v}^{2}}}=\dfrac{19}{20}$ $\Rightarrow $ $v=\sqrt{\dfrac{20}{19}}=\dfrac{2\sqrt{95}}{19}$
A. $\dfrac{2\sqrt{95}}{19}$.
B. $\dfrac{\sqrt{95}}{10}$.
C. $\sqrt{2}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Gọi $p$, $q$, $u$, $v$ lần lượt là các khoảng cách từ $O$ đến các mặt phẳng $\left( SAB \right)$, $\left( SBC \right)$, $\left( SCD \right)$ $\left( SDA \right).$ Trong mặt phẳng $\left( SAC \right)$ dựng đường thẳng qua $O$ vuông góc với đường thẳng $SO$ cắt hai đường thẳng $SA$, $SC$ lần lượt tại ${A}'$, ${C}'$
Trong mặt phẳng $SBD$ dựng đường thẳng qua $O$ vuông góc với đường thẳng $SO$ cắt hai đường thẳng $SB$, $SD$ lần lượt tại ${B}'$, ${D}'$
Do $(SAC)\bot (SBD)$, $(SAC)\cap (SBD)=SO$, ${A}'{C}'\bot SO$ nên ${A}'{C}'\bot (SBD)$
$\Rightarrow {A}'{C}'\bot {B}'{D}'$
Khi đó tứ diện $OS{A}'{B}'$ có $OS$, $O{A}'$, $O{B}'$ đôi một vuông góc nên ta chứng minh được $\dfrac{1}{{{p}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{{{A}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{{{B}'}}^{2}}}(1)$
Chứng minh tương tự:
$\dfrac{1}{{{q}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{{{B}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{{{C}'}}^{2}}}(2)$
$\dfrac{1}{{{u}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{{{C}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{{{D}'}}^{2}}}(3)$
$\dfrac{1}{{{v}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{{{D}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{{{A}'}}^{2}}}(4)$
Từ $(1)$, $(2)$, $(3)$, $(4)$ ta có $\dfrac{1}{{{p}^{2}}}=-\dfrac{1}{{{u}^{2}}}+\dfrac{1}{{{q}^{2}}}+\dfrac{1}{{{v}^{2}}}$
Với $p=1$, $q=2$, $u=\sqrt{5}$ $\Rightarrow $ $\dfrac{1}{{{1}^{2}}}=-\dfrac{1}{{{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{2}^{2}}}+\dfrac{1}{{{v}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{{{v}^{2}}}=\dfrac{19}{20}$ $\Rightarrow $ $v=\sqrt{\dfrac{20}{19}}=\dfrac{2\sqrt{95}}{19}$
Đáp án A.