Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là chữ nhật biết $AB=a$, $BC=3a$ và $SB=2a\sqrt{2}$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là điểm $H$ thuộc cạnh $AD$ sao cho $AH=2HD$ (tham khảo hình vẽ).
Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$.
A. $\dfrac{3a\sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}$.
Vì hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là điểm $H$ nên $SH\bot \left( ABCD \right)$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB // CD \\
& CD\subset \left( SCD \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB // \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( B,\left( SCD \right) \right)=d\left( A,\left( SCD \right) \right)=3d\left( H,\left( SCD \right) \right)$
Kẻ $HK\bot SD \left( 1 \right)$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot SH \\
& CD\bot AD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot HK (2)$
Từ (1),(2) $\Rightarrow HK\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( H,\left( SCD \right) \right)=HK\Rightarrow d\left( B,\left( SCD \right) \right)=3HK$
Xét $\Delta AHB$ vuông tại $A$ có: $BH=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 2a \right)}^{2}}}=a\sqrt{5}$
Xét $\Delta SHB$ vuông tại $H$ có: $SH=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( a\sqrt{5} \right)}^{2}}}=a\sqrt{3}$
Xét $\Delta SHK$ vuông tại $H$ có: $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Vậy $d\left( B,\left( SCD \right) \right)=3.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}$
Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$.
A. $\dfrac{3a\sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}$.
Vì hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là điểm $H$ nên $SH\bot \left( ABCD \right)$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB // CD \\
& CD\subset \left( SCD \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB // \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( B,\left( SCD \right) \right)=d\left( A,\left( SCD \right) \right)=3d\left( H,\left( SCD \right) \right)$
Kẻ $HK\bot SD \left( 1 \right)$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot SH \\
& CD\bot AD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot HK (2)$
Từ (1),(2) $\Rightarrow HK\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( H,\left( SCD \right) \right)=HK\Rightarrow d\left( B,\left( SCD \right) \right)=3HK$
Xét $\Delta AHB$ vuông tại $A$ có: $BH=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 2a \right)}^{2}}}=a\sqrt{5}$
Xét $\Delta SHB$ vuông tại $H$ có: $SH=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( a\sqrt{5} \right)}^{2}}}=a\sqrt{3}$
Xét $\Delta SHK$ vuông tại $H$ có: $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Vậy $d\left( B,\left( SCD \right) \right)=3.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}$
Đáp án D.