Cho hình chóp tứ giác $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là chữ nhật...

The Professor · 19/12/21

Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác

S . A B C D

có đáy

A B C D

là chữ nhật biết

A B = a

,

B C = 3 a

và

S B = 2 a \sqrt{2}

. Hình chiếu vuông góc của đỉnh

S

trên mặt phẳng

(A B C D)

là điểm

H

thuộc cạnh

A D

sao cho

A H = 2 H D

(tham khảo hình vẽ).

Tính khoảng cách từ điểm

B

đến mặt phẳng

(S C D)

.
A.

\frac{3 a \sqrt{3}}{4}

.
B.

\frac{a \sqrt{3}}{2}

.
C.

\frac{a \sqrt{3}}{3}

.
D.

\frac{3 a \sqrt{3}}{2}

.

Vì hình chiếu vuông góc của đỉnh

S

trên mặt phẳng

(A B C D)

là điểm

H

nên

S H ⊥ (A B C D)

Ta có:

{\begin{aligned} A B / / C D \\ C D \subset (S C D) \end{aligned} \Rightarrow A B / / (S C D) \Rightarrow d (B, (S C D)) = d (A, (S C D)) = 3 d (H, (S C D))

Kẻ

H K ⊥ S D (1)

Ta có:

{\begin{aligned} C D ⊥ S H \\ C D ⊥ A D \end{aligned} \Rightarrow C D ⊥ (S A D) \Rightarrow C D ⊥ H K (2)

Từ (1),(2)

\Rightarrow H K ⊥ (S C D) \Rightarrow d (H, (S C D)) = H K \Rightarrow d (B, (S C D)) = 3 H K

Xét

Δ A H B

vuông tại

A

có:

B H = \sqrt{A B^{2} + A H^{2}} = \sqrt{a^{2} + {(2 a)}^{2}} = a \sqrt{5}

Xét

Δ S H B

vuông tại

H

có:

S H = \sqrt{S B^{2} - B H^{2}} = \sqrt{{(2 a \sqrt{2})}^{2} - {(a \sqrt{5})}^{2}} = a \sqrt{3}

Xét

Δ S H K

vuông tại

H

có:

\frac{1}{H K^{2}} = \frac{1}{S H^{2}} + \frac{1}{H D^{2}} = \frac{1}{{(a \sqrt{3})}^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{4}{3 a^{2}} \Rightarrow H K = \frac{a \sqrt{3}}{2}

Vậy

d (B, (S C D)) = 3. \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{3 a \sqrt{3}}{2}

Đáp án D.

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là chữ nhật...