. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh...

+) Gọi $O=AC\cap BD,G=AM\cap SO$
G là trọng tâm $\mathrm{\Delta }SAC\Rightarrow {\displaystyle \frac{SG}{SO}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$.
+) Ta có: $\left(\widehat{SC;\left(ABCD\right)}\right)=\left(\widehat{SC;OC}\right)=\widehat{SCO}=60{}^{\circ }$
Có $OC={\displaystyle \frac{1}{2}}.AC={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}},SO=OC.\tan \widehat{SCO}={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}\tan 60{}^{\circ }={\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{2}}$
$\Rightarrow V_{S.ABCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}SO.S_{ABCD}={\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{2}}.a^2={\displaystyle \frac{a^3\sqrt{6}}{3}}$.
+) Gọi $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng chứa AM và song song với BD $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua G và song song với BD và cắt SB, SD lần lượt tại E và F. Do đó $\left(\alpha \right)$ cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là tứ giác AEMF $\left(\alpha \right)$ chia khối chóp S.ABCD thành hai phần là khối chóp S.AEMF và khối đa diện EMFABCD.
+) Ta có EF đi qua G và $EF//BD\Rightarrow {\displaystyle \frac{SE}{SB}}={\displaystyle \frac{SF}{SD}}={\displaystyle \frac{SG}{SO}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$.
+) ${\displaystyle \frac{V_{S.AEF}}{V_{S.ABD}}}={\displaystyle \frac{SE}{SB}}.{\displaystyle \frac{SF}{SD}}={\displaystyle \frac{2}{3}}.{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{4}{9}}\Rightarrow V_{S.ABD}={\displaystyle \frac{2}{9}}{V}_{S.ABCD}$
+) ${\displaystyle \frac{V_{S.EFM}}{V_{S.BCD}}}={\displaystyle \frac{SE}{SB}}.{\displaystyle \frac{SF}{SD}}.{\displaystyle \frac{SM}{SC}}={\displaystyle \frac{2}{3}}.{\displaystyle \frac{2}{3}}.{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{2}{9}}\Rightarrow V_{S.EFM}={\displaystyle \frac{2}{9}}{V}_{S.BCD}={\displaystyle \frac{1}{9}}{V}_{S.ABCD}$
+ Ta có: $V_{S.AEMF}=V_{S.AEF}+V_{S.EFM}={\displaystyle \frac{1}{3}}{V}_{S.ABCD}$
Thể tích khối chóp không chứa đỉnh S là:
$V=V_{S.ABCD}-V_{S.AEMF}={\displaystyle \frac{2}{3}}{V}_{S.ABCD}={\displaystyle \frac{2}{3}}.{\displaystyle \frac{a^3\sqrt{6}}{6}}={\displaystyle \frac{a^3\sqrt{6}}{9}}$.