Google
Câu hỏi: . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với góc ${{60}^{0}}.$ Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng qua AM và song song với BD, cắt $SB,SD$ lần lượt tại E và F và chia khối chóp thành hai phần. Tính thể tích V của khối chóp không chứa đỉnh S.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{36}.$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}.$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{18}.$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}.$
+) Gọi $O=AC\cap BD,G=AM\cap SO$
G là trọng tâm $\Delta SAC\Rightarrow \dfrac{SG}{SO}=\dfrac{2}{3}$.
+) Ta có: $\left( \widehat{SC;\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SC;OC} \right)=\widehat{SCO}=60{}^\circ $
Có $OC=\dfrac{1}{2}.AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2},SO=OC.\tan \widehat{SCO}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
$\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
+) Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa AM và song song với BD $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua G và song song với BD và cắt SB, SD lần lượt tại E và F. Do đó $\left( \alpha \right)$ cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là tứ giác AEMF $\left( \alpha \right)$ chia khối chóp S.ABCD thành hai phần là khối chóp S.AEMF và khối đa diện EMFABCD.
+) Ta có EF đi qua G và $EF//BD\Rightarrow \dfrac{SE}{SB}=\dfrac{SF}{SD}=\dfrac{SG}{SO}=\dfrac{2}{3}$.
+) $\dfrac{{{V}_{S.AEF}}}{{{V}_{S.ABD}}}=\dfrac{SE}{SB}.\dfrac{SF}{SD}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}\Rightarrow {{V}_{S.ABD}}=\dfrac{2}{9}{{V}_{S.ABCD}}$
+) $\dfrac{{{V}_{S.EFM}}}{{{V}_{S.BCD}}}=\dfrac{SE}{SB}.\dfrac{SF}{SD}.\dfrac{SM}{SC}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{9}\Rightarrow {{V}_{S.EFM}}=\dfrac{2}{9}{{V}_{S.BCD}}=\dfrac{1}{9}{{V}_{S.ABCD}}$
+ Ta có: ${{V}_{S.AEMF}}={{V}_{S.AEF}}+{{V}_{S.EFM}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{S.ABCD}}$
Thể tích khối chóp không chứa đỉnh S là:
$V={{V}_{S.ABCD}}-{{V}_{S.AEMF}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}$.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{36}.$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}.$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{18}.$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}.$
+) Gọi $O=AC\cap BD,G=AM\cap SO$
G là trọng tâm $\Delta SAC\Rightarrow \dfrac{SG}{SO}=\dfrac{2}{3}$.
+) Ta có: $\left( \widehat{SC;\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SC;OC} \right)=\widehat{SCO}=60{}^\circ $
Có $OC=\dfrac{1}{2}.AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2},SO=OC.\tan \widehat{SCO}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
$\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
+) Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa AM và song song với BD $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua G và song song với BD và cắt SB, SD lần lượt tại E và F. Do đó $\left( \alpha \right)$ cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là tứ giác AEMF $\left( \alpha \right)$ chia khối chóp S.ABCD thành hai phần là khối chóp S.AEMF và khối đa diện EMFABCD.
+) Ta có EF đi qua G và $EF//BD\Rightarrow \dfrac{SE}{SB}=\dfrac{SF}{SD}=\dfrac{SG}{SO}=\dfrac{2}{3}$.
+) $\dfrac{{{V}_{S.AEF}}}{{{V}_{S.ABD}}}=\dfrac{SE}{SB}.\dfrac{SF}{SD}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}\Rightarrow {{V}_{S.ABD}}=\dfrac{2}{9}{{V}_{S.ABCD}}$
+) $\dfrac{{{V}_{S.EFM}}}{{{V}_{S.BCD}}}=\dfrac{SE}{SB}.\dfrac{SF}{SD}.\dfrac{SM}{SC}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{9}\Rightarrow {{V}_{S.EFM}}=\dfrac{2}{9}{{V}_{S.BCD}}=\dfrac{1}{9}{{V}_{S.ABCD}}$
+ Ta có: ${{V}_{S.AEMF}}={{V}_{S.AEF}}+{{V}_{S.EFM}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{S.ABCD}}$
Thể tích khối chóp không chứa đỉnh S là:
$V={{V}_{S.ABCD}}-{{V}_{S.AEMF}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}$.
Đáp án B.