Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều ${S.ABCD}$ có tất các các cạnh bằng ${a}$. Khoảng cách từ điểm ${A}$ đến mặt phẳng ${\left( SBC \right)}$ bằng
A. ${\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.}$
B. ${\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.}$
C. ${\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.}$
D. ${\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}.}$
Có: ${{S}_{ABCD}}=A{{B}^{2}}={{a}^{2}}.$ Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
$BO=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}\text{.a}\text{.}\sqrt{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $SO\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SO=\sqrt{S{{B}^{2}}B{{O}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}.$
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{\sqrt{2}}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}\left( dvtt \right).$
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$
Mà ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3} d\left( A,\left( SBC \right) \right).{{S}_{\Delta SBC}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}\Rightarrow d\left( A,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4{{S}_{\Delta SBC}}}.$
${{S}_{\Delta SBC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow d\left( A,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$
A. ${\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.}$
B. ${\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.}$
C. ${\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.}$
D. ${\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}.}$
Có: ${{S}_{ABCD}}=A{{B}^{2}}={{a}^{2}}.$ Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
$BO=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}\text{.a}\text{.}\sqrt{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $SO\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SO=\sqrt{S{{B}^{2}}B{{O}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}.$
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{\sqrt{2}}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}\left( dvtt \right).$
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$
Mà ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3} d\left( A,\left( SBC \right) \right).{{S}_{\Delta SBC}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}\Rightarrow d\left( A,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4{{S}_{\Delta SBC}}}.$
${{S}_{\Delta SBC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow d\left( A,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$
Đáp án C.