Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của
$BC$ ( Tham khảo hình vẽ dưới).
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SM$ và $BD$.
A. $\dfrac{a\sqrt{10}}{10}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{10}}{5}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$.
Gọi $N$ là trung điểm của $CD$, $I$ là giao điểm của $MN$ và $OC$. $\Rightarrow \left( SMN \right)\bot \left( SOI \right)$.
Kẻ $OH\bot SI \left( H\in SI \right)\Rightarrow OH\bot \left( SMN \right)$
$\Rightarrow DB\text{//}MN\Rightarrow BD\text{//}\left( SMN \right)\Rightarrow d\left( SM;BD \right)=d\left( BD;\left( SMB \right) \right)$ $=d\left( O,\left( SMN \right) \right)=OH.$
Ta có: $OC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ ; $SO=\sqrt{S{{C}^{2}}-C{{O}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ ;
; $\Rightarrow OI=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}\Rightarrow \dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}=\dfrac{2}{{{a}^{2}}}+\dfrac{8}{{{a}^{2}}}=\dfrac{10}{{{a}^{2}}}\Rightarrow OH=\dfrac{a\sqrt{10}}{10}$
$\Rightarrow d\left( SM,BD \right)=\dfrac{a\sqrt{10}}{10}$.
$BC$ ( Tham khảo hình vẽ dưới).
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SM$ và $BD$.
A. $\dfrac{a\sqrt{10}}{10}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{10}}{5}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$.
Gọi $N$ là trung điểm của $CD$, $I$ là giao điểm của $MN$ và $OC$. $\Rightarrow \left( SMN \right)\bot \left( SOI \right)$.
Kẻ $OH\bot SI \left( H\in SI \right)\Rightarrow OH\bot \left( SMN \right)$
$\Rightarrow DB\text{//}MN\Rightarrow BD\text{//}\left( SMN \right)\Rightarrow d\left( SM;BD \right)=d\left( BD;\left( SMB \right) \right)$ $=d\left( O,\left( SMN \right) \right)=OH.$
Ta có: $OC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ ; $SO=\sqrt{S{{C}^{2}}-C{{O}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ ;
; $\Rightarrow OI=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}\Rightarrow \dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}=\dfrac{2}{{{a}^{2}}}+\dfrac{8}{{{a}^{2}}}=\dfrac{10}{{{a}^{2}}}\Rightarrow OH=\dfrac{a\sqrt{10}}{10}$
$\Rightarrow d\left( SM,BD \right)=\dfrac{a\sqrt{10}}{10}$.
Đáp án A.