Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi $E,M$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,SA,\alpha $ là góc tạo bởi đường thẳng $EM$ và mặt phẳng $\left( SBD \right).$ Tính $\tan \alpha .$
A. $\sqrt{2}.$
B. $\sqrt{3}.$
C. $2.$
D. $1.$
Không mất tính tổng quát ta có toạ độ các đỉnh như sau
$A\left( 0;-1;0 \right);B\left( 1;0;0 \right);C\left( 0;1;0 \right);D\left( -1;0;0 \right);S\left( 0;0;1 \right);E\left( 0;-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right);M\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0 \right)$
Qua đó ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( SBD \right)$ là $\overrightarrow{n}\left( 0;1;0 \right)$ và $\overrightarrow{EM}\left( \dfrac{1}{2};1;-\dfrac{1}{2} \right).$
Gọi $\alpha =\left( \widehat{\left( SBD \right);EM} \right)$ khi đó $\sin \alpha =\dfrac{\left| 1 \right|}{\sqrt{\dfrac{3}{2}}}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\Rightarrow \cos \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \tan \alpha =\sqrt{2}.$
A. $\sqrt{2}.$
B. $\sqrt{3}.$
C. $2.$
D. $1.$
$A\left( 0;-1;0 \right);B\left( 1;0;0 \right);C\left( 0;1;0 \right);D\left( -1;0;0 \right);S\left( 0;0;1 \right);E\left( 0;-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right);M\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0 \right)$
Qua đó ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( SBD \right)$ là $\overrightarrow{n}\left( 0;1;0 \right)$ và $\overrightarrow{EM}\left( \dfrac{1}{2};1;-\dfrac{1}{2} \right).$
Gọi $\alpha =\left( \widehat{\left( SBD \right);EM} \right)$ khi đó $\sin \alpha =\dfrac{\left| 1 \right|}{\sqrt{\dfrac{3}{2}}}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\Rightarrow \cos \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \tan \alpha =\sqrt{2}.$
Đáp án A.