Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, SA và $\alpha $ là góc tạo bởi đường thẳng MN với (SBD). Tính $\tan \alpha $.
A. $\sqrt{2}.$
B. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$
C. 2.
D. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}.$
A. $\sqrt{2}.$
B. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$
C. 2.
D. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}.$
Ta có: AC vuông góc với mặt phẳng (SBD) tại O.
Gọi $\varphi $ là góc tạo bởi AC và MN.
Ta có: $\alpha +\varphi =90{}^\circ .$
$\tan \alpha =\cot \varphi $
Gọi P là trung điếm của cạnh AB .
Gọi a là chiều dài cạnh hình chóp S.ABCD.
Ta có: MP song song với AC và $MP=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Ta có: $\varphi =\left( \widehat{AC,MN} \right)=\left( \widehat{MP;MN} \right).$
Mặt khác NP là đường trung bình của tam giác SAB ứng với cạnh SB nên $NP=\dfrac{a}{2}.$
Do AC vuông góc với (SBD), MP song song với AC nên MP vuông góc với (SBD). Mặt khác NP song song với mặt phẳng (SBD) vì NP song song với SB.
$\Rightarrow MP\bot NP$ tại P.
Xét tam giác MNP vuông tại P có: $\cot \varphi =\cot \widehat{NMP}=\dfrac{MP}{NP}=\sqrt{2}.$
$\Rightarrow \tan \alpha =\sqrt{2}.$
Gọi $\varphi $ là góc tạo bởi AC và MN.
Ta có: $\alpha +\varphi =90{}^\circ .$
$\tan \alpha =\cot \varphi $
Gọi P là trung điếm của cạnh AB .
Gọi a là chiều dài cạnh hình chóp S.ABCD.
Ta có: MP song song với AC và $MP=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Ta có: $\varphi =\left( \widehat{AC,MN} \right)=\left( \widehat{MP;MN} \right).$
Mặt khác NP là đường trung bình của tam giác SAB ứng với cạnh SB nên $NP=\dfrac{a}{2}.$
Do AC vuông góc với (SBD), MP song song với AC nên MP vuông góc với (SBD). Mặt khác NP song song với mặt phẳng (SBD) vì NP song song với SB.
$\Rightarrow MP\bot NP$ tại P.
Xét tam giác MNP vuông tại P có: $\cot \varphi =\cot \widehat{NMP}=\dfrac{MP}{NP}=\sqrt{2}.$
$\Rightarrow \tan \alpha =\sqrt{2}.$
Đáp án A.