Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi $M$ là điểm trên đoạn $SD$ sao cho $SM=2MD.$
Tan góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là
A. $\dfrac{1}{3}.$
B. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}.$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
D. $\dfrac{1}{5}.$
Ta có $BD=a\sqrt{2}\Rightarrow OD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Xét tam giác vuông $SOD$ tại $O$ có:
$SO=\sqrt{S{{D}^{2}}-O{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Kẻ $MH\bot BD$ tại $H$ nên $\left( BM;\left( ABCD \right) \right)=\widehat{MBH}$
Do $MH\bot BD\Rightarrow MH//SO.$ Ta có $\dfrac{MH}{SO}=\dfrac{MD}{SD}=\dfrac{HD}{OD}=\dfrac{1}{3}.$
$\Rightarrow MH=\dfrac{SO}{3}=\dfrac{a\sqrt{2}}{6}$ và $HD=\dfrac{1}{3}OD=\dfrac{a\sqrt{2}}{6}$
$\Rightarrow BH=BD-HD=a\sqrt{2}-\dfrac{a\sqrt{2}}{6}=\dfrac{5a\sqrt{2}}{6}.$
Xét tam giác vuông $BHM$ tại $H$ có:
$\tan \left( BM;\left( ABCD \right) \right)=\widehat{MBH}=\dfrac{MH}{BH}\Rightarrow \tan \left( BM;\left( ABCD \right) \right)=\dfrac{1}{5}.$
A. $\dfrac{1}{3}.$
B. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}.$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
D. $\dfrac{1}{5}.$
Ta có $BD=a\sqrt{2}\Rightarrow OD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Xét tam giác vuông $SOD$ tại $O$ có:
$SO=\sqrt{S{{D}^{2}}-O{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Kẻ $MH\bot BD$ tại $H$ nên $\left( BM;\left( ABCD \right) \right)=\widehat{MBH}$
Do $MH\bot BD\Rightarrow MH//SO.$ Ta có $\dfrac{MH}{SO}=\dfrac{MD}{SD}=\dfrac{HD}{OD}=\dfrac{1}{3}.$
$\Rightarrow MH=\dfrac{SO}{3}=\dfrac{a\sqrt{2}}{6}$ và $HD=\dfrac{1}{3}OD=\dfrac{a\sqrt{2}}{6}$
$\Rightarrow BH=BD-HD=a\sqrt{2}-\dfrac{a\sqrt{2}}{6}=\dfrac{5a\sqrt{2}}{6}.$
Xét tam giác vuông $BHM$ tại $H$ có:
$\tan \left( BM;\left( ABCD \right) \right)=\widehat{MBH}=\dfrac{MH}{BH}\Rightarrow \tan \left( BM;\left( ABCD \right) \right)=\dfrac{1}{5}.$
Đáp án D.