Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có góc giữa hai mặt bên $\left(...

Cách 1:

Do $AD//BC\Rightarrow \left(SAD\right)\bigcap \left(SBC\right)=d//BC$
Gọi EF lần lượt là trung điểm của BC, AD
$\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& FS\mathrm{\perp }d\\ & ES\mathrm{\perp }d\end{array}\Rightarrow (\left(SAD\right),\left(SBC\right))=\widehat{ESF}={60}^o$
$\Rightarrow \mathrm{\Delta }SEF$ đều.
Đặt $AB=EF=a\Rightarrow SO={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}$
Ta có: $(\left(BCM\right),\left(ABCD\right))=\widehat{MKH}=\gamma$ (như hình vẽ)
Với H, K lần lượt là trung điểm của AO, BE. Khi đó:
$MH={\displaystyle \frac{SO}{2}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{4}},{\displaystyle \frac{HK}{AB}}={\displaystyle \frac{CH}{CA}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\Rightarrow HK={\displaystyle \frac{3a}{4}}$
Suy ra: $\tan \gamma ={\displaystyle \frac{MH}{HK}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}\Rightarrow \gamma ={30}^o$
Cách 2:

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với $O(0;0;0)$
Ta có: $A(-1;0;0),B(0;-1;0),C(1;0;0);D(0;1;0);S(0;0;a)$ với $a>0$
Ta có: $\{\begin{array}{rl}& \overrightarrow{AD}=(1;1;0)\\ & \overrightarrow{AS}=(1;0;a)\end{array}\Rightarrow \overrightarrow{n_{\left(SAD\right)}}=[\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AS}]=(a;-a;-1)$
$\{\begin{array}{rl}& \overrightarrow{BC}=(1;1;0)\\ & \overrightarrow{BS}=(0;1;a)\end{array}\Rightarrow \overrightarrow{n_{\left(SBC\right)}}=[\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BS}]=(a;-a;1)$
Suy ra $\cos (\left(SAD\right),\left(SBC\right))={\displaystyle \frac{|\overrightarrow{n_{\left(SAD\right)}}.\overrightarrow{n_{\left(SBC\right)}}|}{\left|\overrightarrow{n_{\left(SAD\right)}}\right|.\left|\overrightarrow{n_{\left(SBC\right)}}\right|}}={\displaystyle \frac{|2a^2-1|}{2a^2+1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$
$\iff [\begin{array}{rl}& 2a^2+1=2(2a^2-1)\\ & 2a^2+1=-2(2a^2-1)\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& a={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}\\ & a={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}\end{array}$
Xét $a={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$ (với $a={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}$ ta có kết quả tương tự).
Khi đó $S(0;0;{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}})\Rightarrow M(-{\displaystyle \frac{1}{2}};0;{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}})$
Ta có: $\{\begin{array}{rl}& \overrightarrow{BC}=(1;1;0)\\ & \overrightarrow{BM}=(-{\displaystyle \frac{1}{2}};1;{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}})\end{array}\Rightarrow \overrightarrow{n_{\left(BCM\right)}}=[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BM}]=({\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}};-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}};{\displaystyle \frac{3}{2}})$ song song với vectơ $(1;-1;\sqrt{6})$
Ta có: $\overrightarrow{n_{\left(ABCD\right)}}=\overrightarrow{n_{\left(Oxy\right)}}=\overrightarrow{k}=(0;0;1)$
Suy ra $\cos (\left(BCM\right),\left(ABCD\right))={\displaystyle \frac{\left|\sqrt{6}\right|}{\sqrt{1^2+1^2+6.1}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\Rightarrow (\left(BCM\right),\left(ABCD\right))={30}^o$