Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có góc giữa hai mặt bên $\left(...

Cách 1:

Do $AD//BC\Rightarrow \left( SAD \right)\bigcap \left( SBC \right)=d//BC$
Gọi EF lần lượt là trung điểm của BC, AD
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& FS\bot d \\
& ES\bot d \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \left( SAD \right),\left( SBC \right) \right)=\widehat{ESF}={{60}^{o}}$
$\Rightarrow \Delta SEF$ đều.
Đặt $AB=EF=a\Rightarrow SO=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Ta có: $\left( \left( BCM \right),\left( ABCD \right) \right)=\widehat{MKH}=\gamma $ (như hình vẽ)
Với H, K lần lượt là trung điểm của AO, BE. Khi đó:
$MH=\dfrac{SO}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}, \dfrac{HK}{AB}=\dfrac{CH}{CA}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow HK=\dfrac{3a}{4}$
Suy ra: $\tan \gamma =\dfrac{MH}{HK}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \gamma ={{30}^{o}}$
Cách 2:

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với $O\left( 0;0;0 \right)$
Ta có: $A\left( -1;0;0 \right), B\left( 0;-1;0 \right), C\left( 1;0;0 \right); D\left( 0;1;0 \right); S\left( 0;0;a \right)$ với $a>0$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AD}=\left( 1;1;0 \right) \\
& \overrightarrow{AS}=\left( 1;0;a \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( SAD \right)}}}=\left[ \overrightarrow{AD},\overrightarrow{AS} \right]=\left( a;-a;-1 \right)$
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{BC}=\left( 1;1;0 \right) \\
& \overrightarrow{BS}=\left( 0;1;a \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( SBC \right)}}}=\left[ \overrightarrow{BC};\overrightarrow{BS} \right]=\left( a;-a;1 \right)$
Suy ra $\cos \left( \left( SAD \right),\left( SBC \right) \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{\left( SAD \right)}}}.\overrightarrow{{{n}_{\left( SBC \right)}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{\left( SAD \right)}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{\left( SBC \right)}}} \right|}=\dfrac{\left| 2{{a}^{2}}-1 \right|}{2{{a}^{2}}+1}=\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2{{a}^{2}}+1=2\left( 2{{a}^{2}}-1 \right) \\
& 2{{a}^{2}}+1=-2\left( 2{{a}^{2}}-1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=\dfrac{\sqrt{6}}{2} \\
& a=\dfrac{\sqrt{6}}{6} \\
\end{aligned} \right.$
Xét $a=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ (với $a=\dfrac{\sqrt{6}}{6}$ ta có kết quả tương tự).
Khi đó $S\left( 0;0;\dfrac{\sqrt{6}}{2} \right)\Rightarrow M\left( -\dfrac{1}{2};0;\dfrac{\sqrt{6}}{4} \right)$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{BC}=\left( 1;1;0 \right) \\
& \overrightarrow{BM}=\left( -\dfrac{1}{2};1;\dfrac{\sqrt{6}}{4} \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( BCM \right)}}}=\left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BM} \right]=\left( \dfrac{\sqrt{6}}{4};-\dfrac{\sqrt{6}}{4};\dfrac{3}{2} \right) $ song song với vectơ $ \left( 1;-1;\sqrt{6} \right)$
Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{\left( ABCD \right)}}}=\overrightarrow{{{n}_{\left( Oxy \right)}}}=\overrightarrow{k}=\left( 0;0;1 \right)$
Suy ra $\cos \left( \left( BCM \right),\left( ABCD \right) \right)=\dfrac{\left| \sqrt{6} \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+6.1}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \left( \left( BCM \right),\left( ABCD \right) \right)={{30}^{o}}$