Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O,$ cạnh đáy bằng $2a,$ góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng ${{45}^{0}}.$ Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB,SC.$ Thể tích khối tứ diện $MNPD$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}.$
Gọi $I$ là trung điểm của AB. Ta có $\widehat{\left( \left( SAB \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SIO}={{45}^{0}}\Rightarrow SO=a.$
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $O$ là gốc tọa độ, $Ox\equiv OA,Oy\equiv OB,Oz\equiv Os.$
Khi đó ta có $O\left( 0;0;0 \right),A\left( a\sqrt{2};0;0 \right),B\left( 0;a\sqrt{2};0 \right),C\left( -a\sqrt{2};0;0 \right),D\left( 0;-a\sqrt{2};0 \right),S\left( 0;0;a \right),$ $M\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2};0;\dfrac{a}{2} \right),N\left( 0;\dfrac{a\sqrt{2}}{2};\dfrac{a}{2} \right),$ $P\left( -\dfrac{a\sqrt{2}}{2};0;\dfrac{a}{2} \right).$
$\overrightarrow{DM}=\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2};a\sqrt{2};\dfrac{a}{2} \right),\overrightarrow{DN}\left( 0;\dfrac{3a\sqrt{2}}{2};\dfrac{a}{2} \right),\overrightarrow{DP}\left( -\dfrac{a\sqrt{2}}{2};a\sqrt{2};\dfrac{a}{2} \right).$
$\left[ \overrightarrow{DM},\overrightarrow{DN} \right]=\left( -\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{4};-\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{4};\dfrac{3{{a}^{2}}}{2} \right)$
${{V}_{MNPD}}=\dfrac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{DM},\overrightarrow{DN} \right].\overrightarrow{DP} \right|=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}.$
Gọi $I$ là trung điểm của AB. Ta có $\widehat{\left( \left( SAB \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SIO}={{45}^{0}}\Rightarrow SO=a.$
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $O$ là gốc tọa độ, $Ox\equiv OA,Oy\equiv OB,Oz\equiv Os.$
Khi đó ta có $O\left( 0;0;0 \right),A\left( a\sqrt{2};0;0 \right),B\left( 0;a\sqrt{2};0 \right),C\left( -a\sqrt{2};0;0 \right),D\left( 0;-a\sqrt{2};0 \right),S\left( 0;0;a \right),$ $M\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2};0;\dfrac{a}{2} \right),N\left( 0;\dfrac{a\sqrt{2}}{2};\dfrac{a}{2} \right),$ $P\left( -\dfrac{a\sqrt{2}}{2};0;\dfrac{a}{2} \right).$
$\overrightarrow{DM}=\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2};a\sqrt{2};\dfrac{a}{2} \right),\overrightarrow{DN}\left( 0;\dfrac{3a\sqrt{2}}{2};\dfrac{a}{2} \right),\overrightarrow{DP}\left( -\dfrac{a\sqrt{2}}{2};a\sqrt{2};\dfrac{a}{2} \right).$
$\left[ \overrightarrow{DM},\overrightarrow{DN} \right]=\left( -\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{4};-\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{4};\dfrac{3{{a}^{2}}}{2} \right)$
${{V}_{MNPD}}=\dfrac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{DM},\overrightarrow{DN} \right].\overrightarrow{DP} \right|=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
Đáp án A.