Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy là $\alpha $ thỏa mãn $\cos \alpha =\dfrac{1}{3}$. Mặt phẳng (P) qua AC và vuông góc với mặt phẳng (SAD) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tỉ số thể tích của hai khối đa diện (khối bé chia khối lớn) bằng
A. $\dfrac{1}{9}$
B. $\dfrac{1}{10}$
C. $\dfrac{7}{9}$
D. $\dfrac{9}{10}$
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, H là trung điểm
của AB
$\Rightarrow AB\hat{\ }\left( SHO \right)\Rightarrow \widehat{\left( SAB \right);\left( ABC \right)}=\widehat{\left( SH;OH \right)}=\widehat{SHO}=\alpha $
$\Rightarrow \cos \alpha =\dfrac{1}{3}\Rightarrow \tan \alpha =\sqrt{\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }-1}=2\sqrt{2}$
$\Rightarrow SO=OH\tan \alpha =a\sqrt{2}$
Kẻ $CM\bot SD\left( M\in \left( SD \right) \right)\Rightarrow P\equiv \left( ACM \right)$
Mặt phẳng (AMC) chia khối chóp S.ABCD thành hai
khối đa diện M.ACD có thể tích ${{V}_{1}}$ và khối đa diện còn lại
có thể tích ${{V}_{2}}$
Ta có : ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}SH.AB=\dfrac{a}{2}.\dfrac{3a}{2}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{4},SD=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{D}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$
$\Rightarrow {{S}_{SCD}}=\dfrac{1}{2}CM.SD\Rightarrow SM=\dfrac{3a}{\sqrt{10}}$
tam giác MCD vuông tại $M\Rightarrow MD=\sqrt{C{{D}^{2}}-M{{C}^{2}}}=\dfrac{a}{\sqrt{10}}\Rightarrow \dfrac{MD}{SD}=\dfrac{1}{5}$
Ta có : $\dfrac{{{V}_{M.ACD}}}{{{V}_{S.ACD}}}=\dfrac{MD}{SD}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{{{V}_{S.ACD}}}{5}=\dfrac{{{V}_{S.ABCD}}}{10}=\dfrac{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}}{10}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{9}$.
A. $\dfrac{1}{9}$
B. $\dfrac{1}{10}$
C. $\dfrac{7}{9}$
D. $\dfrac{9}{10}$
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, H là trung điểm
của AB
$\Rightarrow AB\hat{\ }\left( SHO \right)\Rightarrow \widehat{\left( SAB \right);\left( ABC \right)}=\widehat{\left( SH;OH \right)}=\widehat{SHO}=\alpha $
$\Rightarrow \cos \alpha =\dfrac{1}{3}\Rightarrow \tan \alpha =\sqrt{\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }-1}=2\sqrt{2}$
$\Rightarrow SO=OH\tan \alpha =a\sqrt{2}$
Kẻ $CM\bot SD\left( M\in \left( SD \right) \right)\Rightarrow P\equiv \left( ACM \right)$
Mặt phẳng (AMC) chia khối chóp S.ABCD thành hai
khối đa diện M.ACD có thể tích ${{V}_{1}}$ và khối đa diện còn lại
có thể tích ${{V}_{2}}$
Ta có : ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}SH.AB=\dfrac{a}{2}.\dfrac{3a}{2}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{4},SD=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{D}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$
$\Rightarrow {{S}_{SCD}}=\dfrac{1}{2}CM.SD\Rightarrow SM=\dfrac{3a}{\sqrt{10}}$
tam giác MCD vuông tại $M\Rightarrow MD=\sqrt{C{{D}^{2}}-M{{C}^{2}}}=\dfrac{a}{\sqrt{10}}\Rightarrow \dfrac{MD}{SD}=\dfrac{1}{5}$
Ta có : $\dfrac{{{V}_{M.ACD}}}{{{V}_{S.ACD}}}=\dfrac{MD}{SD}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{{{V}_{S.ACD}}}{5}=\dfrac{{{V}_{S.ABCD}}}{10}=\dfrac{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}}{10}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{9}$.
Đáp án A.