Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy là $\alpha $ thỏa mãn $\cos \alpha =\dfrac{1}{3}$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua AC và vuông góc với mặt phẳng $\left( SA\text{D} \right)$ chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tỷ số thể tích của hai khối đa diện (khối bé chia khối lớn) bằng
A. $\dfrac{1}{9}$
B. $\dfrac{1}{10}$
C. $\dfrac{7}{9}$
D. $\dfrac{9}{10}$
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, H là trung điểm của AB
$\Rightarrow AB\bot \left( SHO \right)\Rightarrow \widehat{\left( SAB \right);\left( ABC \right)}=\widehat{\left( SH;OH \right)}=\widehat{SHO}=\alpha $
$\Rightarrow \cos \alpha =\dfrac{1}{3}\Rightarrow \tan \alpha =\sqrt{\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }-1}=2\sqrt{2}$
$\Rightarrow SO=OH\tan \alpha =a\sqrt{2}$
Kẻ $CM\bot S\text{D }\left( M\in (S\text{D}) \right)\Rightarrow P\equiv \left( ACM \right)$.
Mặt phẳng $\left( ACM \right)$ chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện M.ACD có thể tích ${{V}_{1}}$ và khối đa diện còn lại có thể tích ${{V}_{2}}$.
Ta có: ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}SH.AB=\dfrac{a}{2}.\dfrac{3\text{a}}{2}=\dfrac{3{{\text{a}}^{2}}}{4},S\text{D}=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{\text{D}}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$
$\Rightarrow {{S}_{SC\text{D}}}=\dfrac{1}{2}CM.S\text{D}\Rightarrow SM=\dfrac{3\text{a}}{\sqrt{10}}$
Tam giác MCD vuông tại M $\Rightarrow M\text{D}=\sqrt{C{{\text{D}}^{2}}-M{{C}^{2}}}=\dfrac{a}{\sqrt{10}}\Rightarrow \dfrac{M\text{D}}{S\text{D}}=\dfrac{1}{5}$
Ta có: $\dfrac{{{V}_{M.AC\text{D}}}}{{{V}_{S.AC\text{D}}}}=\dfrac{M\text{D}}{S\text{D}}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{{{V}_{S.AC\text{D}}}}{5}=\dfrac{{{V}_{S.ABC\text{D}}}}{10}=\dfrac{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}}{10}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{9}$.
A. $\dfrac{1}{9}$
B. $\dfrac{1}{10}$
C. $\dfrac{7}{9}$
D. $\dfrac{9}{10}$
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, H là trung điểm của AB
$\Rightarrow AB\bot \left( SHO \right)\Rightarrow \widehat{\left( SAB \right);\left( ABC \right)}=\widehat{\left( SH;OH \right)}=\widehat{SHO}=\alpha $
$\Rightarrow \cos \alpha =\dfrac{1}{3}\Rightarrow \tan \alpha =\sqrt{\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }-1}=2\sqrt{2}$
$\Rightarrow SO=OH\tan \alpha =a\sqrt{2}$
Kẻ $CM\bot S\text{D }\left( M\in (S\text{D}) \right)\Rightarrow P\equiv \left( ACM \right)$.
Mặt phẳng $\left( ACM \right)$ chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện M.ACD có thể tích ${{V}_{1}}$ và khối đa diện còn lại có thể tích ${{V}_{2}}$.
Ta có: ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}SH.AB=\dfrac{a}{2}.\dfrac{3\text{a}}{2}=\dfrac{3{{\text{a}}^{2}}}{4},S\text{D}=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{\text{D}}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$
$\Rightarrow {{S}_{SC\text{D}}}=\dfrac{1}{2}CM.S\text{D}\Rightarrow SM=\dfrac{3\text{a}}{\sqrt{10}}$
Tam giác MCD vuông tại M $\Rightarrow M\text{D}=\sqrt{C{{\text{D}}^{2}}-M{{C}^{2}}}=\dfrac{a}{\sqrt{10}}\Rightarrow \dfrac{M\text{D}}{S\text{D}}=\dfrac{1}{5}$
Ta có: $\dfrac{{{V}_{M.AC\text{D}}}}{{{V}_{S.AC\text{D}}}}=\dfrac{M\text{D}}{S\text{D}}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{{{V}_{S.AC\text{D}}}}{5}=\dfrac{{{V}_{S.ABC\text{D}}}}{10}=\dfrac{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}}{10}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{9}$.
Đáp án A.