Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, góc...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy là

α

thỏa mãn

\cos α = \frac{1}{3}

. Mặt phẳng

(P)

qua AC và vuông góc với mặt phẳng

(S A D)

chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tỷ số thể tích của hai khối đa diện (khối bé chia khối lớn) bằng
A.

\frac{1}{9}

B.

\frac{1}{10}

C.

\frac{7}{9}

D.

\frac{9}{10}

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, H là trung điểm của AB

\Rightarrow A B ⊥ (S H O) \Rightarrow \hat{(S A B); (A B C)} = \hat{(S H; O H)} = \hat{S H O} = α

\Rightarrow \cos α = \frac{1}{3} \Rightarrow \tan α = \sqrt{\frac{1}{\cos^{2} α} - 1} = 2 \sqrt{2}

\Rightarrow S O = O H \tan α = a \sqrt{2}

Kẻ

C M ⊥ S D (M \in (S D)) \Rightarrow P \equiv (A C M)

.
Mặt phẳng

(A C M)

chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện M.ACD có thể tích

V_{1}

và khối đa diện còn lại có thể tích

V_{2}

.
Ta có:

S_{A B C} = \frac{1}{2} S H . A B = \frac{a}{2} . \frac{3 a}{2} = \frac{3 a^{2}}{4}, S D = \sqrt{S O^{2} + O D^{2}} = \frac{a \sqrt{10}}{2}

\Rightarrow S_{S C D} = \frac{1}{2} C M . S D \Rightarrow S M = \frac{3 a}{\sqrt{10}}

Tam giác MCD vuông tại M

\Rightarrow M D = \sqrt{C D^{2} - M C^{2}} = \frac{a}{\sqrt{10}} \Rightarrow \frac{M D}{S D} = \frac{1}{5}

Ta có:

\frac{V_{M . A C D}}{V_{S . A C D}} = \frac{M D}{S D} = \frac{1}{5} \Rightarrow V_{1} = \frac{V_{S . A C D}}{5} = \frac{V_{S . A B C D}}{10} = \frac{V_{1} + V_{2}}{10} \Rightarrow \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{9}

.

Đáp án A.