Google
Câu hỏi: Cho hình chớp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và cạnh bên $SA=a\sqrt{2}$. Gọi $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$. Khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{42}}{14}$.
B. $\dfrac{3a\sqrt{42}}{56}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{42}}{21}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{42}}{28}$.
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$. Vì $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên $SO\bot \left( ABCD \right)$
Trong $\left( SOB \right)$, kẻ đường trung trực của $SB$, cắt $SO$ tại $I$, suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.
Ta có: $SB=SD=BD=a\sqrt{2}\Rightarrow \Delta SBD$ đều nên $I$ là trọng tâm $\Delta SBD$.
Suy ra $\dfrac{d\left( I,\left( SCD \right) \right)}{d\left( O,\left( SCD \right) \right)}=\dfrac{SI}{SO}=\dfrac{2}{3}$
Trong $\Delta SOB$ : $S{{O}^{2}}=S{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow SO=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $CD$.
Trong $\Delta SOM$ : $\dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( O,\left( SCD \right) \right)}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}=\dfrac{2}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{{{a}^{2}}}=\dfrac{14}{3{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow d\left( O,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{42}}{14}$.
Do đó, $d\left( I,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{2}{3}d\left( O,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{42}}{21}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{42}}{14}$.
B. $\dfrac{3a\sqrt{42}}{56}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{42}}{21}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{42}}{28}$.
Trong $\left( SOB \right)$, kẻ đường trung trực của $SB$, cắt $SO$ tại $I$, suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.
Ta có: $SB=SD=BD=a\sqrt{2}\Rightarrow \Delta SBD$ đều nên $I$ là trọng tâm $\Delta SBD$.
Suy ra $\dfrac{d\left( I,\left( SCD \right) \right)}{d\left( O,\left( SCD \right) \right)}=\dfrac{SI}{SO}=\dfrac{2}{3}$
Trong $\Delta SOB$ : $S{{O}^{2}}=S{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow SO=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $CD$.
Trong $\Delta SOM$ : $\dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( O,\left( SCD \right) \right)}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}=\dfrac{2}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{{{a}^{2}}}=\dfrac{14}{3{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow d\left( O,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{42}}{14}$.
Do đó, $d\left( I,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{2}{3}d\left( O,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{42}}{21}$.
Đáp án C.