Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a,AD=a\sqrt{2},SA\bot \left( ABCD \right)$ và $SA=a$ (tham khảo hình vẽ)...

Phương pháp:
Trong $\left( ABCD \right),$ kẻ $AH\bot BD$
Trong $\left( SAH \right),$ kẻ $AK\bot SH\Rightarrow AK\bot \left( SBD \right)$
$\Rightarrow d\left( A;\left( SBD \right) \right)=AK.$
Cách giải:

Trong $\left( ABCD \right),$ kẻ $AH\bot BD$
Trong $\left( SAH \right),$ kẻ $AK\bot SH$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot SA \\
& BD\bot AH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAH \right)\Rightarrow BD\bot AK$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AK\bot SH \\
& AK\bot BD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AK\bot \left( SBD \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SBD \right) \right)=AK.$
Áp dụng hệ thức lượng cho $\Delta ABD$ vuông tại $A$ và có đường cao $AH$ ta có:
$AH=\dfrac{AB.AD}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\dfrac{a.a\sqrt{2}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
Áp dụng hệ thức lượng cho $\Delta ABD$ vuông tại $A$ và có đường cao $AK$ ta có:
$AK=\dfrac{SA.AH}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{H}^{2}}}}=\dfrac{a.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{3} \right)}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{6}}{3}}{\dfrac{\sqrt{15}}{3}}=\dfrac{a\sqrt{10}}{5}$