Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$ và chiều cao bằng $a\sqrt{2}$. Tính khoảng cách $d$ từ tâm $O$ của đáy $ABCD$ đến một mặt bên theo $a$.
A. $d=\dfrac{2a\sqrt{5}}{3}$.
B. $d=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $d=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
D. $d=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
$S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên $ABCD$ là hình vuông và $SO\bot \left( ABCD \right)$.
Vẽ $OH$ vuông góc với $CD$ tại $H$ thì $H$ là trung điểm $CD$, $OH=\dfrac{a}{2}$.
Dễ thấy $CD\bot \left( SOH \right)\Rightarrow \left( SCD \right)\bot \left( SOH \right)$ nên kẻ $OK$ vuông góc với $SH$ tại $K$ thì $OK\bot \left( SCD \right)$. $\Rightarrow d\left[ O,\left( SCD \right) \right]$ $=OK$.
Tam giác vuông $SOH$ có $OK$ là đường cao nên $OK=\dfrac{OS.OH}{\sqrt{O{{S}^{2}}+O{{H}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{2}.\dfrac{a}{2}}{\sqrt{2{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
Vậy $d\left[ O,\left( SCD \right) \right]=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
A. $d=\dfrac{2a\sqrt{5}}{3}$.
B. $d=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $d=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
D. $d=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
$S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên $ABCD$ là hình vuông và $SO\bot \left( ABCD \right)$.
Vẽ $OH$ vuông góc với $CD$ tại $H$ thì $H$ là trung điểm $CD$, $OH=\dfrac{a}{2}$.
Dễ thấy $CD\bot \left( SOH \right)\Rightarrow \left( SCD \right)\bot \left( SOH \right)$ nên kẻ $OK$ vuông góc với $SH$ tại $K$ thì $OK\bot \left( SCD \right)$. $\Rightarrow d\left[ O,\left( SCD \right) \right]$ $=OK$.
Tam giác vuông $SOH$ có $OK$ là đường cao nên $OK=\dfrac{OS.OH}{\sqrt{O{{S}^{2}}+O{{H}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{2}.\dfrac{a}{2}}{\sqrt{2{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
Vậy $d\left[ O,\left( SCD \right) \right]=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
Đáp án D.