Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, tâm $O$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $BC$. Biết rằng góc giữa $MN$ và $\left( ABCD \right)$ bằng ${{60}^{0}}$, cosin góc giữa $MN$ và mặt phẳng $\left( SBD \right)$ bằng:
A. $\dfrac{\sqrt{41}}{41}$.
B. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
C. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{41}}{41}$.
Ta có $AN\cap CD=F$ (suy ra $N$ là trung điểm của $AF$, $NC$ là đường trung bình trong tam giác $AFD$ ) $\Rightarrow MN//SF$ ; $\left( MN,\left( ABCD \right) \right)=\left( SF,\left( ABCD \right) \right)=\widehat{SFO}=60{}^\circ $.
Với $OC=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2};CF=CD=a\Rightarrow OF=\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{2}-2a\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\cos 135{}^\circ }=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$. Khi đó $SF=\dfrac{OF}{\cos 60{}^\circ }=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}:\dfrac{1}{2}=a\sqrt{10}$.
.Ta có $OC\bot BD,OC\bot SO\Rightarrow OC\bot \left( SBD \right)$, lại có $OC//BF\Rightarrow BF\bot \left( SBD \right)$, do vậy $\left( MN,\left( SBD \right) \right)=\left( SF,\left( SBD \right) \right)=\widehat{FSB}$.
$BF=2OC=a\sqrt{2}$ ( $OC$ là đường trung bình trong tam giác $BDF$ ), $SB=\sqrt{S{{F}^{2}}-B{{F}^{2}}}=2\sqrt{2}a$. Vậy $\cos \widehat{BSF}=\dfrac{SB}{SF}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
A. $\dfrac{\sqrt{41}}{41}$.
B. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
C. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{41}}{41}$.
Với $OC=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2};CF=CD=a\Rightarrow OF=\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{2}-2a\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\cos 135{}^\circ }=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$. Khi đó $SF=\dfrac{OF}{\cos 60{}^\circ }=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}:\dfrac{1}{2}=a\sqrt{10}$.
.Ta có $OC\bot BD,OC\bot SO\Rightarrow OC\bot \left( SBD \right)$, lại có $OC//BF\Rightarrow BF\bot \left( SBD \right)$, do vậy $\left( MN,\left( SBD \right) \right)=\left( SF,\left( SBD \right) \right)=\widehat{FSB}$.
$BF=2OC=a\sqrt{2}$ ( $OC$ là đường trung bình trong tam giác $BDF$ ), $SB=\sqrt{S{{F}^{2}}-B{{F}^{2}}}=2\sqrt{2}a$. Vậy $\cos \widehat{BSF}=\dfrac{SB}{SF}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
Đáp án C.