Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$ tâm $O.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $BC.$ Góc giữa đường thẳng $MN$ và...

Goi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$.
Vì $SABCD$ là chóp tứ giác đều nên $SO$ vuông góc với $\left(ABCD\right)$
Gọi $E$ là hình chiếu $M$ trên $\left(ABCD\right)$
$\Rightarrow E$ là trung điểm của $AO$
$\Rightarrow \left(\widehat{MN;\left(ABCD\right)}\right)=\left(\widehat{MN;EN}\right)=\widehat{MNE}={60}^0$
Do: $N{E}^2=C{N}^2+C{E}^2-2.CN.CE.\cos \widehat{NCE}$
$\Rightarrow NE={\displaystyle \frac{a\sqrt{10}}{4}}$
$\Rightarrow MN=2.ME={\displaystyle \frac{a\sqrt{10}}{2}}$
Gọi $I$ là giao điểm của $EN$ và $BO$.
Từ $I$ kẻ đường thẳng song song với $ME,$ cắt $MH$ tại $H$
$\Rightarrow H$ là giao điểm của $MN$ và $\left(SBD\right)$.
Hình chiếu của $N$ lên $\left(SBD\right)$ là góc $NHK$.
Xét tam giác vuông $NHK$ có:
$NH={\displaystyle \frac{MN}{2}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{10}}{4}}$
$NK={\displaystyle \frac{CO}{2}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{4}}$
$\Rightarrow \sin \widehat{NHK}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}}$
$\Rightarrow \left(\widehat{MN;\left(SBD\right)}\right)=\arcsin {\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}}$