Cho hình chóp tứ giác đều $S. ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$ tâm $O.$ Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $BC.$ Góc giữa đường thẳng $MN$ và...

Goi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$.
Vì $SABCD$ là chóp tứ giác đều nên $SO$ vuông góc với $\left(ABCD \right)$
Gọi $E$ là hình chiếu $M$ trên $\left(ABCD \right)$
$\Rightarrow E$ là trung điểm của $AO$
$\Rightarrow \left(\widehat{MN;\left( ABCD \right)} \right)=\left(\widehat{MN; EN} \right)=\widehat{MNE}={{60}^{0}}$
Do: $N{{E}^{2}}=C{{N}^{2}}+C{{E}^{2}}-2. CN. CE.\cos \widehat{NCE}$
$\Rightarrow NE=\dfrac{a\sqrt{10}}{4}$
$\Rightarrow MN=2.ME=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$
Gọi $I$ là giao điểm của $EN$ và $BO$.
Từ $I$ kẻ đường thẳng song song với $ME,$ cắt $MH$ tại $H$
$\Rightarrow H$ là giao điểm của $MN$ và $\left(SBD \right)$.
Hình chiếu của $N$ lên $\left(SBD \right)$ là góc $NHK$.
Xét tam giác vuông $NHK$ có:
$NH=\dfrac{MN}{2}=\dfrac{a\sqrt{10}}{4}$
$NK=\dfrac{CO}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$
$\Rightarrow \sin \widehat{NHK}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
$\Rightarrow \left(\widehat{MN;\left( SBD \right)} \right)=\arcsin \dfrac{\sqrt{5}}{5}$