Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $BC$. Biết góc giữa $MN$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng $60{}^\circ $. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BC$ và $DM$ là
A. $a\sqrt{\dfrac{15}{62}}$.
B. $a\sqrt{\dfrac{30}{31}}$.
C. $a\sqrt{\dfrac{15}{68}}$.
D. $a\sqrt{\dfrac{15}{17}}$.
Gọi $I$ là trung điểm $OA$.
Vì $IM\text{//}SO\Rightarrow IM\bot \left( ABCD \right)$ nên hình chiếu của $-\dfrac{1}{f\left( x \right)}={{x}^{2}}+x+C$ lên $\left( ABCD \right)$ là $IN$.
Suy ra $\widehat{MNI}=60{}^\circ $. Áp dụng định lí côsin trong $\Delta CIN$, ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{2}-1 \\
& f\left( 2 \right)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2} \\
& ................ \\
& f\left( 2019 \right)=\dfrac{1}{2020}-\dfrac{1}{2019} \\
\end{aligned} \right.$.
Trong tam giác vuông $MIN$ ta có.
$\tan 60{}^\circ =\dfrac{MI}{IN}\Rightarrow MI=IN.\sqrt{3}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{a\sqrt{30}}{4}\Rightarrow SO=\dfrac{a\sqrt{30}}{2}$.
Ta có $d\left( BC,DM \right)=d\left( BC,\left( SAD \right) \right)=d\left( N,\left( SAD \right) \right)=2d\left( O,\left( SAD \right) \right)=2d\left( O,\left( SBC \right) \right)$.
Kẻ $OE\bot SN\Rightarrow OE\bot \left( SBC \right)$.
Ta có $d\left( O,\left( SBC \right) \right)=OE$ mà $\dfrac{1}{O{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{N}^{2}}}=\dfrac{4}{30{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{{{a}^{2}}}=\dfrac{62}{15{{a}^{2}}}\Rightarrow OE=\dfrac{a\sqrt{15}}{\sqrt{62}}$.
Vậy $d\left( BC,DM \right)=2OE=\dfrac{2a\sqrt{15}}{\sqrt{62}}=\sqrt{\dfrac{30}{31}}a$.
A. $a\sqrt{\dfrac{15}{62}}$.
B. $a\sqrt{\dfrac{30}{31}}$.
C. $a\sqrt{\dfrac{15}{68}}$.
D. $a\sqrt{\dfrac{15}{17}}$.
Vì $IM\text{//}SO\Rightarrow IM\bot \left( ABCD \right)$ nên hình chiếu của $-\dfrac{1}{f\left( x \right)}={{x}^{2}}+x+C$ lên $\left( ABCD \right)$ là $IN$.
Suy ra $\widehat{MNI}=60{}^\circ $. Áp dụng định lí côsin trong $\Delta CIN$, ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{2}-1 \\
& f\left( 2 \right)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2} \\
& ................ \\
& f\left( 2019 \right)=\dfrac{1}{2020}-\dfrac{1}{2019} \\
\end{aligned} \right.$.
Trong tam giác vuông $MIN$ ta có.
$\tan 60{}^\circ =\dfrac{MI}{IN}\Rightarrow MI=IN.\sqrt{3}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{a\sqrt{30}}{4}\Rightarrow SO=\dfrac{a\sqrt{30}}{2}$.
Ta có $d\left( BC,DM \right)=d\left( BC,\left( SAD \right) \right)=d\left( N,\left( SAD \right) \right)=2d\left( O,\left( SAD \right) \right)=2d\left( O,\left( SBC \right) \right)$.
Kẻ $OE\bot SN\Rightarrow OE\bot \left( SBC \right)$.
Ta có $d\left( O,\left( SBC \right) \right)=OE$ mà $\dfrac{1}{O{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{N}^{2}}}=\dfrac{4}{30{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{{{a}^{2}}}=\dfrac{62}{15{{a}^{2}}}\Rightarrow OE=\dfrac{a\sqrt{15}}{\sqrt{62}}$.
Vậy $d\left( BC,DM \right)=2OE=\dfrac{2a\sqrt{15}}{\sqrt{62}}=\sqrt{\dfrac{30}{31}}a$.
Đáp án B.