Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, diện tích mỗi mặt bên bằng $2{{a}^{2}}$. Thể tích khối nón có đỉnh $S$ và đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông $ABCD$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{7}}{4}\pi {{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{7}}{4}\pi {{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{7}}{6}\pi {{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{7}}{3}\pi {{a}^{3}}$.
Gọi $I$ là tâm của hình vuông $ABCD,M$ là trung điểm của $AB$.
Diện tích tam giác $SAB$ bằng $2{{a}^{2}}$ nên ta có :
$\dfrac{1}{2}AB.SM=2{{a}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}a.SM=2{{a}^{2}}$
$\Leftrightarrow SM=4a$. Tam giác $SIM$ vuông tại $I$ nên ta có :
$SI=\sqrt{S{{M}^{2}}-I{{M}^{2}}}=\sqrt{16{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}$
$=\dfrac{a\sqrt{63}}{2}$. Bán kính đáy của khối nón là $IA=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$. Thể tích khối nón : $V=\dfrac{1}{3}\left( \pi {{R}^{2}} \right).SI$
$=\dfrac{1}{3}\left( \pi .\dfrac{{{a}^{2}}}{2} \right).\dfrac{a\sqrt{63}}{2}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}\pi {{a}^{3}}$.
A. $\dfrac{\sqrt{7}}{4}\pi {{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{7}}{4}\pi {{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{7}}{6}\pi {{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{7}}{3}\pi {{a}^{3}}$.
Gọi $I$ là tâm của hình vuông $ABCD,M$ là trung điểm của $AB$.
Diện tích tam giác $SAB$ bằng $2{{a}^{2}}$ nên ta có :
$\dfrac{1}{2}AB.SM=2{{a}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}a.SM=2{{a}^{2}}$
$\Leftrightarrow SM=4a$. Tam giác $SIM$ vuông tại $I$ nên ta có :
$SI=\sqrt{S{{M}^{2}}-I{{M}^{2}}}=\sqrt{16{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}$
$=\dfrac{a\sqrt{63}}{2}$. Bán kính đáy của khối nón là $IA=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$. Thể tích khối nón : $V=\dfrac{1}{3}\left( \pi {{R}^{2}} \right).SI$
$=\dfrac{1}{3}\left( \pi .\dfrac{{{a}^{2}}}{2} \right).\dfrac{a\sqrt{63}}{2}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}\pi {{a}^{3}}$.
Đáp án A.