Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a$, khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $CD$ bằng $a\sqrt{3}$. Thể tích khối chóp đều $S.ABCD$ bằng
A. $4{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
C. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
D. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Ta có $AB\ \text{//}\ CD\Rightarrow CD\ \text{//}\ \left( SAB \right)$. Gọi $M,N,O$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD,AC$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $SM\Rightarrow OH\bot SM\left( 1 \right)$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AM\bot OM \\
& AM\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AM\bot \left( SOM \right)\Rightarrow AM\bot OH\ ,\left( 2 \right)\ \ \left( do\ OH\subset SOM \right)$.
Từ (1), (2) $\Rightarrow OH\bot \left( SAM \right)\Rightarrow d\left( SA,CD \right)=d\left( N,\left( SAM \right) \right)=2OH\Rightarrow OH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Tam giác $SOM$ vuông tại $O$ $\Rightarrow \dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{S{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}=\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow SO=a\sqrt{3}$.
Thể tích khối chóp là $V=\dfrac{1}{3}.SO.4{{a}^{2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.4{{a}^{2}}=\dfrac{4\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$
A. $4{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
C. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
D. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $SM\Rightarrow OH\bot SM\left( 1 \right)$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AM\bot OM \\
& AM\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AM\bot \left( SOM \right)\Rightarrow AM\bot OH\ ,\left( 2 \right)\ \ \left( do\ OH\subset SOM \right)$.
Từ (1), (2) $\Rightarrow OH\bot \left( SAM \right)\Rightarrow d\left( SA,CD \right)=d\left( N,\left( SAM \right) \right)=2OH\Rightarrow OH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Tam giác $SOM$ vuông tại $O$ $\Rightarrow \dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{S{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}=\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow SO=a\sqrt{3}$.
Thể tích khối chóp là $V=\dfrac{1}{3}.SO.4{{a}^{2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.4{{a}^{2}}=\dfrac{4\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$
Đáp án D.