Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60°. Khi đó thể tích hình nón nội tiếp hình chóp S.ABCD là
A. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
B. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$.
Gọi O, H lần lượt là trung điểm các đoạn AC và BC thì $BC\bot OH$ và $BC\bot SO\Rightarrow BC\bot SH$
$\Rightarrow \widehat{\left( \left( SBC \right),\left( ABC \right) \right)}=\widehat{SHO}\Rightarrow \widehat{SHO}=60{}^\circ $.
Ta có $OH=\dfrac{1}{2}AB=a\Rightarrow SO=OH.\tan \widehat{SHO}=a\sqrt{3}$.
Hình nón nội tiếp S.ABCD có bán kính $r=OH=a$ và đường cao $h=SO=a\sqrt{3}$.
Thể tích hình nón đó là ${{V}_{n}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( a \right)}^{2}}.a\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{3}}\pi \sqrt{3}}{3}$
A. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
B. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$.
Gọi O, H lần lượt là trung điểm các đoạn AC và BC thì $BC\bot OH$ và $BC\bot SO\Rightarrow BC\bot SH$
$\Rightarrow \widehat{\left( \left( SBC \right),\left( ABC \right) \right)}=\widehat{SHO}\Rightarrow \widehat{SHO}=60{}^\circ $.
Ta có $OH=\dfrac{1}{2}AB=a\Rightarrow SO=OH.\tan \widehat{SHO}=a\sqrt{3}$.
Hình nón nội tiếp S.ABCD có bán kính $r=OH=a$ và đường cao $h=SO=a\sqrt{3}$.
Thể tích hình nón đó là ${{V}_{n}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( a \right)}^{2}}.a\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{3}}\pi \sqrt{3}}{3}$
Đáp án B.