Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh $AB=a$ và $SA=2a.$ Tính tan của góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$.
A. $\sqrt{5}$
B. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. $\sqrt{7}$
A. $\sqrt{5}$
B. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. $\sqrt{7}$
Phương pháp:
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.
Cách giải:
Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$.
$\Rightarrow OA$ là hình chiếu vuông góc của $SA$ lên $\left( ABCD \right)\Rightarrow \angle \left( SA;\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SA;OA \right)=\angle SAO.$
Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $AB=a$ nên $AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Áp dụng định lí Pytago ta có: $SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{14}}{2}.$
Xét tam giác vuông $SOA$ có: $\tan \angle SAO=\dfrac{SO}{AO}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{14}}{2}}{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{7}$.
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.
Cách giải:
Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$.
$\Rightarrow OA$ là hình chiếu vuông góc của $SA$ lên $\left( ABCD \right)\Rightarrow \angle \left( SA;\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SA;OA \right)=\angle SAO.$
Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $AB=a$ nên $AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Áp dụng định lí Pytago ta có: $SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{14}}{2}.$
Xét tam giác vuông $SOA$ có: $\tan \angle SAO=\dfrac{SO}{AO}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{14}}{2}}{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{7}$.
Đáp án D.