Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S$. $A B C D$ có cạnh đáy bằng $a$, góc $\widehat{S A B}=60^{\circ}$. Thể tích của khối nón đỉnh $S$ và đáy là đường tròn ngoại tiếp $A B C D$ bằng
A. $\dfrac{\pi a^3 \sqrt{3}}{12}$.
B. $\dfrac{\pi a^3 \sqrt{2}}{12}$.
C. $\dfrac{\pi a^3 \sqrt{2}}{6}$.
D. $\dfrac{\pi a^3 \sqrt{3}}{6}$.
Gọi $O=A C \cap B D$. Xét khối nón đỉnh $S$ và đáy là đường tròn ngoại tiếp $A B C D$, ta có: bán kính đáy $R=O A=\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$, đường cao $h=S O$.
Tam giác $S A B$ cân tại $S$ và có góc $\widehat{S A B}=60^{\circ}$ nên $S A B$ là tam giác đều, suy ra độ dài đường sinh $l=S B=A B=a$.
Xét tam giác $S O B$ vuông tại $O$ có $S O=\sqrt{S B^2-O B^2}=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2}=\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$
Thể tích của khối nón là: $V=\dfrac{1}{3} \pi R^2 h=\dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot\left(\dfrac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2 \dfrac{a \sqrt{2}}{2}=\dfrac{\pi a^3 \sqrt{2}}{12}$.
A. $\dfrac{\pi a^3 \sqrt{3}}{12}$.
B. $\dfrac{\pi a^3 \sqrt{2}}{12}$.
C. $\dfrac{\pi a^3 \sqrt{2}}{6}$.
D. $\dfrac{\pi a^3 \sqrt{3}}{6}$.
Tam giác $S A B$ cân tại $S$ và có góc $\widehat{S A B}=60^{\circ}$ nên $S A B$ là tam giác đều, suy ra độ dài đường sinh $l=S B=A B=a$.
Xét tam giác $S O B$ vuông tại $O$ có $S O=\sqrt{S B^2-O B^2}=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2}=\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$
Thể tích của khối nón là: $V=\dfrac{1}{3} \pi R^2 h=\dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot\left(\dfrac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2 \dfrac{a \sqrt{2}}{2}=\dfrac{\pi a^3 \sqrt{2}}{12}$.
Đáp án B.