Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Tính cosin của góc giữa một mặt bên và mặt đáy.
A. $\dfrac{1}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
C. $\dfrac{1}{2}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Gọi tứ diện đều là $S.ABCD$, gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$.
Gọi là $I$ trung điểm của $BC$. Khi đó ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SO \\
& BC\bot OI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SOI \right)\Rightarrow BC\bot SI$.
Do đó $\left( \widehat{\left( SBC \right),\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SI,OI} \right)=\widehat{SIO}$.
Ta có $OI=\dfrac{a}{2}, SI=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{I}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Tam giác $SOI$ vuông tại $O$ $\Rightarrow \cos \widehat{SIO}=\dfrac{OI}{SI}=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
A. $\dfrac{1}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
C. $\dfrac{1}{2}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Gọi tứ diện đều là $S.ABCD$, gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$.
Gọi là $I$ trung điểm của $BC$. Khi đó ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SO \\
& BC\bot OI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SOI \right)\Rightarrow BC\bot SI$.
Do đó $\left( \widehat{\left( SBC \right),\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SI,OI} \right)=\widehat{SIO}$.
Ta có $OI=\dfrac{a}{2}, SI=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{I}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Tam giác $SOI$ vuông tại $O$ $\Rightarrow \cos \widehat{SIO}=\dfrac{OI}{SI}=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Đáp án D.